人教版八上高分笔记之导与练 11.1.1 与三角形有关的线段（原卷+答案）

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三角形
11.1与三角形有关的线段
第一课时
三角形的边
知识要点:
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段
所组成的图形叫做三角形。
2.三角形按边可分类如下：
不等边三角形
三角形
等腰三角形
底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
3.三角形三边的关系：在三角形中，任意两边之和
第三边，任意两边之差
第三边。
易错题：
若等腰三角形的两边长分别是5和6,则它的周长为
2.若等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为
【点睛】
①注意分类讨论；
②注意用三边关系检验。
典型例题：
若a，b，c是ΔABC的三边长，化简：｜a-b＋c｜-｜c-a-b｜＋｜a＋b＋c｜.
变式：
1.三边长分为a，b，c，则化简｜a＋b-c｜-2｜a-b-1｜+|a＋b＋c｜的结果是（???)
A.4a-2c
C.4b+2c
B.2a-2b-c
D.2a-2b+c
2.已知a，b，c是三角形的三边长.
（1）化简：｜a-b-c｜＋｜b-c-a｜＋｜c-a-b｜；
（2）若a＝10，b＝8，c＝6，求（1）中式子的值
例2、P是ΔABC内一点，连接BP并延长，交AC于点D.
（1）试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系；
（2）试探究AB＋AC与PB＋PC的大小关系．
变式：
如图，已知D，E是ΔABC内的两点求证：AB＋AC＞BD＋DE＋EC.
基础练习
在ΔABC中，AB=1,BC=5,下列选项中，可以作为AC长度的是（
)
A.2
B.4
C.5
D.6
2.长度为2cm,3?cm,4?cm,5cm的4条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（
)
A.4
B.5
C.6
D.7
4.若两个三角形有一条边公共，就称这两个三角形为一对“共边三角形”，则图中以BC为一边的“共边三角形”有
对。
第4题
第5题
如图，点B1,B2,B3,···,B,在同一条直线上，则图中角形的总个数是
6.【教材变式】（P3例题改）用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8cm的等腰三角形吗？为什么？
7.已知三角形的两边长为4和6,第三条边长x最小．
（1)求x的取值范围；
（2)当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
综合题探究
8.已知a,b,c是ΔABC的三边长．
（1)化简：｜a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|;
（2)若ΔABC为等腰三角形，且周长为18,a=4,求b,c的值；
（3)若b=a+2,c=a+5,且ΔABC的周长不超过37.求a的取值范围．
答案：
知识要点:
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形按边可分类如下：
不等边三角形
三角形
等腰三角形
底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
3.三角形三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
易错题：
若等腰三角形的两边长分别是5和6,则它的周长为16或17
2.若等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为15
【点睛】
①注意分类讨论；
②注意用三边关系检验。
典型例题：
例1、若a，b，c是ΔABC的三边长，化简：｜a-b＋c｜-｜c-a-b｜＋｜a＋b＋c｜.
解：a，b，c是ΔABC的三边长，
∴a+c>b,c-a0...?a-b+c>0,c-a-b<0.
∴原式?=a-b+c+c-a-b+a+b+c?=a-b+3c.
变式：
三边长分为a，b，c，则化简｜a＋b-c｜-2｜a-b-1｜+|a＋b＋c｜的结果是（?A??)
A.4a-2c
C.4b+2c
B.2a-2b-c
D.2a-2b+c
2.已知a，b，c是三角形的三边长.
（1）化简：｜a-b-c｜＋｜b-c-a｜＋｜c-a-b｜；
（2）若a＝10，b＝8，c＝6，求（1）中式子的值
解：（1）∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a-b∴a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-?b＜0
∴原式＝b＋c-a＋c＋a-b＋a＋b-c＝a＋b＋c．
（2）把a＝10，b＝8，c＝6代入，得原式＝a＋b＋c=10+8+6=24.?
P是ΔABC内一点，连接BP并延长，交AC于点D.
（1）试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系；
（2）试探究AB＋AC与PB＋PC的大小关系．
解：（1）根据三角形三边的关系，可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，
∴AB＋AD＋BC＋CD＞2BD，即AB＋BC+CA>2BD.?
（2）根据三角形三边的关系，可得AB＋AD＞BD，PD+CD>PC,
∴AB+AD+PD+CD>BD+PC.?
∴AB＋AC＞BD＋PC-PD，即AB＋AC＞PB＋PC.?
变式：
如图，已知D，E是ΔABC内的两点求证：AB＋AC＞BD＋DE＋EC.
证明：如图，延长ED交AB于点F，延长DE交AC于点G
在ΔAFG中，AF＋AG＞FG.①
在ΔBFD中，FB＋FD＞BD.②
在ΔEGC中，EG＋GC＞EC.③
将不等式①②③的左边和右边
分别相加，得AF＋FB＋AG＋GC＋FD＋EG＞FG＋BD＋EC，
即AB＋AC＋FD＋EG＞FG＋BD＋EC＝(FD+DE+EG)+BD+EC
∴AB+AC>BD+DE+EC.?
基础练习
1.在ΔABC中，AB=1,BC=5,下列选项中，可以作为AC长度的是（A)
A.2
B.4
C.5
D.6
2.长度为2cm,3?cm,4?cm,5cm的4条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（B)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（B)
A.4
B.5
C.6
D.7
4.若两个三角形有一条边公共，就称这两个三角形为一对“共边三角形”，则图中以BC为一边的“共边三角形”有3对。
第4题
第5题
5.如图，点B1,B2,B3,···,B,在同一条直线上，则图中角形的总个数是36
6.【教材变式】（P3例题改）用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8cm的等腰三角形吗？为什么？
解：①若腰长为8cm,则底边长为36-8x2=20(cm),:8+8=16<20.不能组成三角形，此情况不成立；
②若底边长为8cm,则腰长为（36-8)÷2=14(cm).成立．
综上所述，可以围成一边长为8cm的等腰三角形．
7.已知三角形的两边长为4和6,第三条边长x最小．
（1)求x的取值范围；
（2)当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
解：（1)由三角形的三边关系，得2（2)当x=4时，三角形的周长最大，且最大值是4+6+4=14.
综合题探究
8.已知a,b,c是ΔABC的三边长．
（1)化简：｜a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|;
（2)若ΔABC为等腰三角形，且周长为18,a=4,求b,c的值；
（3)若b=a+2,c=a+5,且ΔABC的周长不超过37.求a的取值范围．
解：（1):a,b,c是三角形的三边长，．b+c>a,c+a>b,a+b>c,:.a-b-c<0,b-c-a<0,
c-a-b<0,|a-b-e|+|b-c-a|+|c-a-b|=b+c-a+c+a-b+a+b-c=a+b+c;
（2)①若a=4为底边长，则另外两边长均为1/2(18-4)=7,即b=c=7;
②若a=4为腰长，则另一腰长为4,底边长为18-4x2=10,
：4+4<10,.此时不能构成三角形，舍去；
综上所述，b=c=7;
a+a+2>a+5,
（3)依题意，得
a+a+2+a+5≤37,解得321世纪教育网
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