人教版八上高分笔记之导与练 11.1.2 与三角形有关的线段（原卷+答案）

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三角形
11.1与三角形有关的线段
三角形的高、中线、角平分线、三角形的稳定性
知识点：
如图，AD,AE,AF分别是ΔABC的高，中线和角平分线。填空：
（1)∠ADB=
＝90°
（2)BE=
=BC
（3)∠BAF=
＝∠BAC
易错点：
如图，在ΔABC中。
（1)画出BC边上的高；
（2)画出AC边上的中线；
（3)画出经过点C的ΔABC的角平分线。
〖点睛〗①注意三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②钝角三角形有两条高在三角形的外部。
典型例题：
题型一
与高有关的计算或证明
如图，AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C,且AC与BD相交于点E.若AE=5.DE=2,CD=,求AB的长。
变式练习
如图，已知AD⊥BC,BF⊥CF,且AD=2,BC=8,BF=4,那么AC的长度为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
在ΔABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,则ΔABC的三条高之和为
例2、如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在BC上（D不是BC的中点），
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点?F，BG⊥AC于点G.求证：BG＝DE+DF.?
变式练习：
如图，BE，CF均是ΔABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N?
求证：AM＝AN.
题型二
与三角形中线有关的计算
例3、在ΔABC中，AB＝AC，BD为ΔABC的中线，且BD将ΔABC的周长分为12cm
与15cm两部分，求ΔABC各边的长．
变式练习：
如图，在ΔABC中，AB＞BC，AB＝2AC，边AC上的中线BD把ΔABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长.
?
例4、如图，在ΔABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，且S△ABC=12,
则图中阴影部分的面积为（
)
A.1
B.2???????C.3
D.4
变式练习：
如图，在ΔABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点.若ΔDEF
的面积为1，则ΔABC的面积是（????)
A.3
B.4
C.8
D.12
2.如图，ΔABC三边上的中线AD，BE，CF交于点G．若S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积是__
基础练习
1.如图，AD⊥BE,垂足为D,点C在BE上，以AD为高的三角形有（
）
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
1题
2题图
3题
2.如图，在ΔABC中，BC边上的高是AB，在ΔAEC中，AE边上的高是
3.如图，已知AD为ΔABC的中线，AB=12cm,AC=9cm,ΔACD的周长为27cm,则
ΔABD的周长为
cm.
4.已知AD是ΔABC的高，∠BAD=60°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为
第5题
如图，D,E分别是ΔABC的边AB,BC上的点，AD=2BD,BE=CE.设ΔADF的面积
为S1,ΔCEF的面积为S2,若SΔABC=6,则S1-S2的值为
.
6.【教材变式】（P9第8题改）如图，在ΔABC中，AE,CD是ΔABC的两条高，AB=4,CD=2.
（1)请画出AE,CD;
（2)求ΔABC的面积；
（3)若AE=3,求BC的长．
7.如图，在ΔABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，SΔABC=4,求SΔBEF.
综合题探究
8.如图，在ΔABC中，AB>AC,AD为BC边上的中线．
（1)ΔABD的周长比ΔACD的周长大4.
①若AB=10,则AC=?
?;②若AB+AC=14,则AC=
______;
（2)ΔABC的周长为27,AB=9,BC边上中线AD=6,ΔACD周长为19,求AC的长．
答案：
知识点：
如图，AD,AE,AF分别是ΔABC的高，中线和角平分线。填空：
（1)∠ADB=∠ADC＝90°
（2)BE=CE=BC
（3)∠BAF=∠CAF＝∠BAC
易错点：
如图，在ΔABC中。
（1)画出BC边上的高；
（2)画出AC边上的中线；
（3)画出经过点C的ΔABC的角平分线。
〖点睛〗
①注意三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②钝角三角形有两条高在三角形的外部。
典型例题：
题型一
与高有关的计算或证明
如图，AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C,且AC与BD相交于点E.若AE=5.DE=2,CD=,求AB的长。
解：在ΔAED中，边DE上的高为AB,边AE上的高为DC,
等面积法
SΔAED=AE·CD=DE·AB
AE=5,DE=2,CD=
x5x=x2·AB.
解得AB=.故AB的长为
变式练习
如图，已知AD⊥BC,BF⊥CF,且AD=2,BC=8,BF=4,那么AC的长度为（
C
）
A.2
B.3
C.4
D.5
在ΔABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,则ΔABC的三条高之和为9.4
例2、如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在BC上（D不是BC的中点），
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点?F，BG⊥AC于点G.求证：BG＝DE+DF.?
证明：如图，连接AD..SΔABC＝S△ABD+SΔACD,
AC·BG=AB·DE+AC·DF.?
∵AB=AC,.∴.BG=DE+DF.
变式练习：
如图，BE，CF均是ΔABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N?
求证：AM＝AN.
证明：BE，CF均是ΔABC的中线，
AM⊥CF,AN⊥BE,
∴S△ABE=S△ACF=S△ABC
∴AM·CF=AN·BE.
又CF＝BE.∴AM＝AN.
题型二
与三角形中线有关的计算
例3、在ΔABC中，AB＝AC，BD为ΔABC的中线，且BD将ΔABC的周长分为12cm
与15cm两部分，求ΔABC各边的长．
解：设AB＝xcm，则AD＝CD＝AC＝xcm．
分两种情况讨论：
（1）如图①，若AB＋AD＝12cm，则x＋x＝12．
解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，则CD＝AD＝4cm．
故BC＝15-CD＝15-4＝11（cm）．?
：8＋8＞11，即AB＋AC＞BC，．能组成三角形．
．此时ΔABC各边的长分别为8cm，8cm，11cm．
如图②，若AB＋AD＝15cm，则?x+x=15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，则CD＝AD＝5cm．
故BC＝12-CD＝12-5＝7（cm）
∵10＋7＞10，即AB＋BC＞AC，∴能组成三角形．
此时ΔABC各边的长分别为10cm，10cm，7cm．
综上所述，ΔABC各边的长分别为8cm，8cm，11cm?或10cm，10cm，7?cm．?
变式练习：
如图，在ΔABC中，AB＞BC，AB＝2AC，边AC上的中线BD把ΔABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长.
解：设AC＝x，则AB＝2x．
BD是中线，
AD=DC=x
∵AB>BC,∴AB+AD>BC+CD,
∴AB+AD=30,BC+CD=20,,2x+x=30.
解得x＝12，则AC＝12，．AB＝2x12＝24，
BC=20-x12=14.?
例4、如图，在ΔABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，且S△ABC=12,
则图中阴影部分的面积为（
C
)
A.1
B.2???????C.3
D.4
变式练习：
1.如图，在ΔABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点.若ΔDEF
的面积为1，则ΔABC的面积是（??C??)
A.3
B.4
C.8
D.12
2.如图，ΔABC三边上的中线AD，BE，CF交于点G．若S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积是__8
基础练习
1.如图，AD⊥BE,垂足为D,点C在BE上，以AD为高的三角形有（
A
）
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
1题
2题图
3题
2.如图，在ΔABC中，BC边上的高是AB，在ΔAEC中，AE边上的高是CD
3.如图，已知AD为ΔABC的中线，AB=12cm,AC=9cm,ΔACD的周长为27cm,则
ΔABD的周长为
30
cm.
4.已知AD是ΔABC的高，∠BAD=60°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为80°或40°
第5题
6题
7题
5.如图，D,E分别是ΔABC的边AB,BC上的点，AD=2BD,BE=CE.设ΔADF的面积
为S1,ΔCEF的面积为S2,若SΔABC=6,则S1-S2的值为1.
6.【教材变式】（P9第8题改）如图，在ΔABC中，AE,CD是ΔABC的两条高，AB=4,CD=2.
（1)请画出AE,CD;
（2)求ΔABC的面积；
（3)若AE=3,求BC的长．
解：（1)略；（2)4;(3).
7.如图，在ΔABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，SΔABC=4,求SΔBEF.
解：易证SΔABD=SΔADc=2,S△AEC=SΔDEC=SΔBDE=1,SΔBEC=2,.SΔBEF=SΔBCF=1.
综合题探究
8.如图，在ΔABC中，AB>AC,AD为BC边上的中线．
（1)ΔABD的周长比ΔACD的周长大4.
①若AB=10,则AC=?6?;②若AB+AC=14,则AC=5;
（2)ΔABC的周长为27,AB=9,BC边上中线AD=6,ΔACD周长为19,求AC的长．
解：（1)①AC=6;②AB=9,AC=5;
（2)设AC=x,CD=y,:AD是BC边的中线，．BC=2CD=2y,
由题意得x+9+2y=27,x+6+y=19,解得x=8,y=5,..AC=8.
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精品试卷·第
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