23.1.1 图形的旋转及性质同步练习（含答案）

23.1　图形的旋转
第1课时　图形的旋转及性质
一、选择题
1.下列运动形式属于旋转的是 ( )
A.放飞的风筝 B.飞奔的高铁动车
C.时钟上分针的运动 D.鱼在水中游动
2.如图,把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,则旋转角是 ( )
A.∠AOC B.∠AOD C.∠AOB D.∠BOC
　　　　　　　　
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,在4×4的正方形网格中,△PMN绕某点旋转一定的角度,得到△P1M1N1,其旋转中心是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
4.如图所示的每个小三角形是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以点A为中心 ( )
A.顺时针旋转60°所得到的
B.逆时针旋转60°所得到的
C.顺时针旋转120°所得到的
D.逆时针旋转120°所得到的
5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,点A在边B'C上.若∠B＝30°,则∠A'的大小是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
　　
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,当点B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为 ( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
7.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,使得点B的对应点D恰好落在BC边上.若AB＝1,∠B＝60°,则CD的长为 ( )
A.0.5 B.1.5 C.2 D.1
8.如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数(　　)
A.20° B.25° C.30° D.35°
9.如图,在矩形ABCD中,AD＝4,DC＝3,将△ADC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AEF(点A,B,E在同一条直线上),连接CF,则CF的长为 ( )
A.5 B.32 C.42 D.52
　　　
第8题图 第9题图 第10题图
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,线段BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段BD,过点A作AE⊥射线CD于点E,则∠CAE的度数是 ( )
A.90°－α B.α
C.90°－α2 D.α2
11.(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(　　)

A．AC＝DE B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
12.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(　　)
A．50° B．70° C．110° D．120°
13.(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为(　　)
A．18° B．20° C．24° D．28°
14.(2020·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C. cm D．2 cm
二、填空题
15.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB边上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是　 　;旋转角度是　 　;点B的对应点是　　;点D的对应点是　　;线段CB的对应线段是　　;∠B的对应角是　 　.?
16.如图,F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得△CBG,连接FG,则△BFG的形状是　 　.?
17.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一条直线上,且有一个公共顶点A.若正五边形ABCDE绕点A旋转x度恰好与正五边形AFGHM的一条边重合,则x的最小值为　 　.?

18.如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,E是正方形内的一个动点,OE＝2,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF,连接OF,则线段OF的最小值为 　.?
三、解答题
19.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.
(1)求∠AGC的度数;
(2)求证:四边形ABFE是菱形.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别在AB,AC上,EC＝BC,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF.
(1)补全图形;
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC＝90°.
21.如图,E是正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转一定的角度得到EF,点C在EF上,连接AF交边CD于点G.
(1)若AB＝4,BF＝8,求CE的长;
(2)求证:AE＝BE＋DG.
22.(中考·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数；
(3)求证：DE2＝BD2＋AD2.
23.(2019·荆州)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．
(1)在图②中，∠AOF＝________(用含α的式子表示)；
(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．



24.【探索新知】
如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
(1)一个角的平分线　　这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)?
(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ= 　.(用含α的代数式表示出所有可能的结果)?
【深入研究】
如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒.
(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”?
(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值.

参考答案
一、选择题
1.下列运动形式属于旋转的是 (C)
A.放飞的风筝 B.飞奔的高铁动车
C.时钟上分针的运动 D.鱼在水中游动
2.如图,把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,则旋转角是 (A)
A.∠AOC B.∠AOD C.∠AOB D.∠BOC
　　　　　　　　
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,在4×4的正方形网格中,△PMN绕某点旋转一定的角度,得到△P1M1N1,其旋转中心是 (B)
A.点A B.点B C.点C D.点D
4.如图所示的每个小三角形是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以点A为中心 (D)
A.顺时针旋转60°所得到的
B.逆时针旋转60°所得到的
C.顺时针旋转120°所得到的
D.逆时针旋转120°所得到的
5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,点A在边B'C上.若∠B＝30°,则∠A'的大小是 (C)
A.30° B.60° C.90° D.120°
　　
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,当点B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为 (A)
A.150° B.120° C.60° D.30°
7.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,使得点B的对应点D恰好落在BC边上.若AB＝1,∠B＝60°,则CD的长为 (D)
A.0.5 B.1.5 C.2 D.1
8.如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数(　B　)

A.20° B.25° C.30° D.35°
9.如图,在矩形ABCD中,AD＝4,DC＝3,将△ADC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AEF(点A,B,E在同一条直线上),连接CF,则CF的长为 (D)
A.5 B.32 C.42 D.52
　　　
第8题图 第9题图 第10题图
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,线段BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段BD,过点A作AE⊥射线CD于点E,则∠CAE的度数是 (C)
A.90°－α B.α
C.90°－α2 D.α2
11.(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(　D　)

A．AC＝DE B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
12.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(　D　)
A．50° B．70° C．110° D．120°
13.(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为(　C　)
A．18° B．20° C．24° D．28°
14.(2020·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是(　B　)
A．1 cm B．2 cm
C. cm D．2 cm
二、填空题
15.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB边上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是　点C　;旋转角度是　90°　;点B的对应点是　A　;点D的对应点是　E　;线段CB的对应线段是　CA　;∠B的对应角是　∠CAE　.?
16.如图,F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得△CBG,连接FG,则△BFG的形状是　等边三角形　.?
17.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一条直线上,且有一个公共顶点A.若正五边形ABCDE绕点A旋转x度恰好与正五边形AFGHM的一条边重合,则x的最小值为　36　.?

18.如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,E是正方形内的一个动点,OE＝2,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF,连接OF,则线段OF的最小值为?5102－2　.?
提示:如图,连接CO,将线段CO绕点C逆时针旋转90°得到CM,连接FM,OM,∴∠ECF＝∠OCM＝90°,∴∠ECO＝∠FCM.∵CE＝CF,CO＝CM,∴△ECO≌△FCM(SAS),∴FM＝OE＝2.∵正方形ABCD中,AB＝5,O是AB边的中点,∴OB＝2.5,∴OC＝52＋522＝552,∴OM＝2OC＝5102.∵OF＋MF≥OM,∴OF≥5102－2,∴线段OF的最小值为5102－2.
三、解答题
19.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.
(1)求∠AGC的度数;
(2)求证:四边形ABFE是菱形.
解:(1)∵AB＝AC,∠BAC＝100°,
∴∠B＝∠C＝40°.
由旋转的性质可知∠BAD＝40°,
∴∠AGC＝∠B＋∠BAD＝80°.
(2)由旋转的性质可知∠D＝∠B＝∠BAD＝40°,
∠DAE＝100°,∴AB∥DE.
由(1)知∠AGC＝80°,∴∠DAE＋∠AGC＝180°,∴AE∥BF,
∴四边形ABFE是平行四边形.
又∵AB＝AC＝AE,∴四边形ABFE是菱形.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别在AB,AC上,EC＝BC,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF.
(1)补全图形;
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC＝90°.
解:(1)补全图形,如图所示.
(2)由旋转的性质可知∠DCF＝∠DCE＋∠ECF＝90°,CD＝CF.
∵∠ACB＝∠DCE＋∠BCD＝90°,
∴∠ECF＝∠BCD.
∵EF∥CD,∴∠EFC＋∠DCF＝180°,
∴∠EFC＝90°.
在△BDC和△EFC中,CD＝CF,∠BCD＝∠ECF,BC＝EC,
∴△BDC≌△EFC(SAS),
∴∠BDC＝∠EFC＝90°.
21.如图,E是正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转一定的角度得到EF,点C在EF上,连接AF交边CD于点G.
(1)若AB＝4,BF＝8,求CE的长;
(2)求证:AE＝BE＋DG.
解:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB＝BC＝4,∠ABC＝90°.
∵BF＝8,∴CF＝BF－BC＝4.
由旋转的性质知,EF＝AE,
∴BE＝BF－EF＝BF－AE＝8－AE,
在Rt△ABE中,AB2＋BE2＝AE2,
即42＋(8－AE)2＝AE2,解得AE＝5,
∴CE＝EF－CF＝AE－CF＝5－4＝1.
(2)延长EB到点H,使得BH＝DG,
易证△ADG≌△ABH(AAS),
∴∠BAH＝∠DAG,∴∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵AE＝EF,∴∠EAF＝∠F.
∵∠EAH＋∠EAF＝90°,∠F＋∠H＝90°,
∴∠H＝∠EAH,∴EA＝EH.
∵EH＝BE＋BH＝BE＋DG,
∴AE＝BE＋BG.
22.(中考·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
证明：由题意可知CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACB.
∵∠ACD＝∠ACB－∠DCB，∠BCE＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数；
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°.
由(1)知△ACD≌△BCE，
∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE.
∵AD＝BF，∴BE＝BF.
∴∠BEF＝＝67.5°.
(3)求证：DE2＝BD2＋AD2.
证明：由(1)知△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE，AD＝BE.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠CBA＝90°.
∴∠CBE＋∠CBA＝90°.
∴∠EBD＝90°.
∴DE2＝BD2＋BE2.
∴DE2＝BD2＋AD2.
23.(2019·荆州)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．
(1)在图②中，∠AOF＝________(用含α的式子表示)；

【思路点拨】如图②，利用旋转的性质得到∠DOF＝∠COE＝α，再根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，从而得到∠AOF＝90°－α；
(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
【思路点拨】如图②，利用正方形的性质得到∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，再利用△OEF为等腰直角三角形得到OF＝OE，利用(1)的结论得到∠AOF＝∠DOE，则可证明△AOF≌△DOE，从而得到AF＝DE.
解：AF＝DE.证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.
∵∠DOF＝∠COE＝α.∴∠AOF＝∠DOE.
∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE.
在△AOF和△DOE中，
∴△AOF≌△DOE(SAS)．∴AF＝DE.
24.【探索新知】
如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
(1)一个角的平分线　是　这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)?
(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=?12α或13α或23α　.(用含α的代数式表示出所有可能的结果)?
【深入研究】
如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒.
(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”?
(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值.

解:(3)依题意有①10t=60+12×60,解得t=9;
②10t=2×60,解得t=12;
③10t=60+2×60,解得t=18.
故当t为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”.
(4)当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.
提示:依题意有①10t=13(5t+60),解得t=2.4;
②10t=12(5t+60),解得t=4;
③10t=23(5t+60),解得t=6.