初中数学人教版九年级上册——21.1一元二次方程（第2课时）
一、单选题
1．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）下列关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；② ；③x2－4＋x5＝0；④3x＝x2.其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·坪山模拟）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021八下·龙口期中）若m是方程x2﹣2019x﹣1＝0的根，则（m2﹣2019m+3） （m2﹣2019m+4）的值为（ ）
A．16 B．12 C．20 D．30
4．（2021九上·郫都期末）若 是方程 的根，则 的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
5．（2021九上·河南期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
6．（2020九上·巩义月考）关于 x 的方程 a（x+m）2+b=0 的解是 x1=﹣2，x2=1（a，m，b 均为常数，a≠0），则方程 a（x+m+2）2+b=0 的解是（ ）
A．x1=0，x2=3 B．x1=﹣4，x2=﹣1
C．x1=﹣4，x2=2 D．x1=4，x2=1
7．（2020九上·福鼎期中）若m是方程 的一个根，设 ， ，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q
C．p＞q D．与c的取值有关
8．（2020九上·西安期中）若方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 中，a，b，c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0，则方程 ax2+bx +c=0 的两个根分 别是（ ）
A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定
二、填空题
9．（2021·兴化模拟） 是方程 的一个根，则代数式 的值是 .
10．（2021九上·漳州期末）若关于x的方程 有一个根是3，则 的值是 .
11．（2020九上·青神期中）将一元二次方程 化为 的形式为 ．
12．（2020九上·惠安期中）若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为 ．
13．（2020九上·乐陵月考）已知关于x的方程x2+mx+n=0的两根为3和-1，则m= ，n= ．
14．（2020九上·洛宁月考）若a（a≠0）是关于x的方程：x2+bx+a＝0的一个根，则a+b的值为 .
三、解答题
15．（2021·汝阳模拟）已知实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，求代数式a2－2015a－ 的值.
16．（2019九上·椒江期末）已知m是方程 的一个根，求 的值．
17．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
18．（2017·沂源模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣ =0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x+ =0的根，求k的值．
19．一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①不能保证二次项的系数不为0，故不符合题意；②有分式，不属于二次方程；③最高次数为5次，不属于二次方程；④只有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0中，即可求出a值.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：m是方程x2﹣2019x﹣1＝0的根，则m2﹣2019m＝1，所以（m2﹣2019m+3）（m2﹣2019m+4）＝（1+3）（1+4）＝20．故答案为：C．
【分析】此题考查一元二次方程的根，m是方程的根，代入方程就可以得到等式，之后观题目所求与等式之间的关系即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ =2021，
故答案为：B.
【分析】把m代入方程 得到，然后代入原式求值即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义，可知a-2≠0，可求出a的取值范围；再将x=0代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后确定出符合题意的a的值.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1.
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1.
故答案为：B.
【分析】由题意将所求一元二次方程变形为a[（x+2）+m]2+b=0，结合已知的一元二次方程的解可得关于x的方程x+2=-2或x+2=1，解之即可求解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴p＜q
故答案为：A．
【分析】利用作差法，列出整式的减法，结果利用配方法和0比较即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a b+c=0，
∴当x= 1时，一元二次方程ax2+bx+c=0即为：a×( 1)2+b×( 1)+c=0；
∴a b+c=0，
∴当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；
方程的根是x1=1，x2= 1.
故答案为：C.
【分析】根据 a+b+c=0 和 a-b+c=0可得x=±1.
9．【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意得： ，即 ，
则 ，
，
，
故答案为：2019.
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，再作为整体代入即可得.
10．【答案】-9
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵3是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ；
故答案是-9.
【分析】 因为一元二次方程有一根为3， 把x=3代入原方程，再整理化简即得结果.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
去括号得：
移项合并得： ．
故答案是：
【分析】利用去括号、移项合并化为 的性质即可.
12．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x=-2时，4a-2b+c=0，则此方程必有一根为-2．
故答案是：-2．
【分析】将x=-2代入方程 ax2+bx+c=0能得到4a-2b+c=0，即可得到答案。
13．【答案】-2；-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，得 ，
解得， ，
故答案为：-2；-3．
【分析】根据一元二次方程解的概念，将两个根3和-1代入方程，得到关于m，n二元一次方程组，解方程组即可．
14．【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a（a≠0）是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，
∴a2+ab+a＝0，
∴a（a+b+1）＝0，
∴a＝0或a+b+1＝0，
∵a≠0，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1.
故答案是：﹣1.
【分析】将x=a代入方程，然后将方程的左边因式分解即可得到答案.
15．【答案】解：∵实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，
∴a2－2016a＋1＝0.
∴a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1.
∴a2－2015a－ ＝a2－2015a－ ＝a2－2015a－a＝a2－2016a＝－1.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据方程的解的定义把x=a代入一元二次方程x2－2016x＋1＝0，得到a2－2016a＋1＝0，变形可得a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
16．【答案】 解：∵m是方程x2-3x=0的根，
∴m2-3m=0，
∴m=0或m=3，
①当m=0时，
∴（m-3）2+（m+2）（m-2），
=（0-3）2+（0+2）（0-2），
=9-4，
=5；
②当m=3时，
∴（m-3）2+（m+2）（m-2），
=（3-3）2+（3+2）（3-2），
=0+5×1，
=5；
综上所述：（m-3）2+（m+2）（m-2）=5.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】解方程x2-3x=0从而可得m值，在分情况计算：①当m=0时，②当m=3时，分别将m值代入代数式，计算即可得出答案,
17．【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
18．【答案】解：x2﹣2x﹣ =0，
移项得：x2﹣2x= ，
配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ，
开方得：x﹣1=± ，
解得：x1= ，x2=﹣ ，
△=（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，
①根据题意把x= 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（ ）2﹣ （k+2）+ =0，
解得：k= ；
②把x=﹣ 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（﹣ ）2+ （k+2）+ =0，
解得：k=﹣7，
综上所述，k的值为﹣7或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】利用配方法求出方程x2﹣2x﹣ =0的解，将求出的解代入x2﹣（k+2）x+ =0中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
19．【答案】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
，
解得
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——21.1一元二次方程（第2课时）
一、单选题
1．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）下列关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；② ；③x2－4＋x5＝0；④3x＝x2.其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①不能保证二次项的系数不为0，故不符合题意；②有分式，不属于二次方程；③最高次数为5次，不属于二次方程；④只有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
2．（2021·坪山模拟）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0中，即可求出a值.
3．（2021八下·龙口期中）若m是方程x2﹣2019x﹣1＝0的根，则（m2﹣2019m+3） （m2﹣2019m+4）的值为（ ）
A．16 B．12 C．20 D．30
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：m是方程x2﹣2019x﹣1＝0的根，则m2﹣2019m＝1，所以（m2﹣2019m+3）（m2﹣2019m+4）＝（1+3）（1+4）＝20．故答案为：C．
【分析】此题考查一元二次方程的根，m是方程的根，代入方程就可以得到等式，之后观题目所求与等式之间的关系即可.
4．（2021九上·郫都期末）若 是方程 的根，则 的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ =2021，
故答案为：B.
【分析】把m代入方程 得到，然后代入原式求值即可.
5．（2021九上·河南期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义，可知a-2≠0，可求出a的取值范围；再将x=0代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后确定出符合题意的a的值.
6．（2020九上·巩义月考）关于 x 的方程 a（x+m）2+b=0 的解是 x1=﹣2，x2=1（a，m，b 均为常数，a≠0），则方程 a（x+m+2）2+b=0 的解是（ ）
A．x1=0，x2=3 B．x1=﹣4，x2=﹣1
C．x1=﹣4，x2=2 D．x1=4，x2=1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1.
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1.
故答案为：B.
【分析】由题意将所求一元二次方程变形为a[（x+2）+m]2+b=0，结合已知的一元二次方程的解可得关于x的方程x+2=-2或x+2=1，解之即可求解.
7．（2020九上·福鼎期中）若m是方程 的一个根，设 ， ，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q
C．p＞q D．与c的取值有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴p＜q
故答案为：A．
【分析】利用作差法，列出整式的减法，结果利用配方法和0比较即可。
8．（2020九上·西安期中）若方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 中，a，b，c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0，则方程 ax2+bx +c=0 的两个根分 别是（ ）
A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a b+c=0，
∴当x= 1时，一元二次方程ax2+bx+c=0即为：a×( 1)2+b×( 1)+c=0；
∴a b+c=0，
∴当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；
方程的根是x1=1，x2= 1.
故答案为：C.
【分析】根据 a+b+c=0 和 a-b+c=0可得x=±1.
二、填空题
9．（2021·兴化模拟） 是方程 的一个根，则代数式 的值是 .
【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意得： ，即 ，
则 ，
，
，
故答案为：2019.
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，再作为整体代入即可得.
10．（2021九上·漳州期末）若关于x的方程 有一个根是3，则 的值是 .
【答案】-9
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵3是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ；
故答案是-9.
【分析】 因为一元二次方程有一根为3， 把x=3代入原方程，再整理化简即得结果.
11．（2020九上·青神期中）将一元二次方程 化为 的形式为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
去括号得：
移项合并得： ．
故答案是：
【分析】利用去括号、移项合并化为 的性质即可.
12．（2020九上·惠安期中）若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为 ．
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x=-2时，4a-2b+c=0，则此方程必有一根为-2．
故答案是：-2．
【分析】将x=-2代入方程 ax2+bx+c=0能得到4a-2b+c=0，即可得到答案。
13．（2020九上·乐陵月考）已知关于x的方程x2+mx+n=0的两根为3和-1，则m= ，n= ．
【答案】-2；-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，得 ，
解得， ，
故答案为：-2；-3．
【分析】根据一元二次方程解的概念，将两个根3和-1代入方程，得到关于m，n二元一次方程组，解方程组即可．
14．（2020九上·洛宁月考）若a（a≠0）是关于x的方程：x2+bx+a＝0的一个根，则a+b的值为 .
【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a（a≠0）是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，
∴a2+ab+a＝0，
∴a（a+b+1）＝0，
∴a＝0或a+b+1＝0，
∵a≠0，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1.
故答案是：﹣1.
【分析】将x=a代入方程，然后将方程的左边因式分解即可得到答案.
三、解答题
15．（2021·汝阳模拟）已知实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，求代数式a2－2015a－ 的值.
【答案】解：∵实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，
∴a2－2016a＋1＝0.
∴a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1.
∴a2－2015a－ ＝a2－2015a－ ＝a2－2015a－a＝a2－2016a＝－1.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据方程的解的定义把x=a代入一元二次方程x2－2016x＋1＝0，得到a2－2016a＋1＝0，变形可得a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
16．（2019九上·椒江期末）已知m是方程 的一个根，求 的值．
【答案】 解：∵m是方程x2-3x=0的根，
∴m2-3m=0，
∴m=0或m=3，
①当m=0时，
∴（m-3）2+（m+2）（m-2），
=（0-3）2+（0+2）（0-2），
=9-4，
=5；
②当m=3时，
∴（m-3）2+（m+2）（m-2），
=（3-3）2+（3+2）（3-2），
=0+5×1，
=5；
综上所述：（m-3）2+（m+2）（m-2）=5.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】解方程x2-3x=0从而可得m值，在分情况计算：①当m=0时，②当m=3时，分别将m值代入代数式，计算即可得出答案,
17．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
18．（2017·沂源模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣ =0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x+ =0的根，求k的值．
【答案】解：x2﹣2x﹣ =0，
移项得：x2﹣2x= ，
配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ，
开方得：x﹣1=± ，
解得：x1= ，x2=﹣ ，
△=（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，
①根据题意把x= 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（ ）2﹣ （k+2）+ =0，
解得：k= ；
②把x=﹣ 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（﹣ ）2+ （k+2）+ =0，
解得：k=﹣7，
综上所述，k的值为﹣7或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】利用配方法求出方程x2﹣2x﹣ =0的解，将求出的解代入x2﹣（k+2）x+ =0中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
19．一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
【答案】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
，
解得
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
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