初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）
一、单选题
1．（2021九上·内江期末）当 时，关于 的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为： .
【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解.
2．（2020九上·胶州月考）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解.
3．（2020九上·陇县期中）关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m≥ 且m≠2
C．m≤ 且m≠﹣2 D．m≥
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，
m-2≠0，
m≠2，
△=9-4×(-1)×(m-2)≥0，
m ，
关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，m的取值范围是m 且m≠2.
故答案为：B.
【分析】关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可.
4．用公式解方程3x﹣1﹣2x2=0的过程中，a、b、c的值分别是（ ）
A．a=3 b=﹣1 c=﹣2 B．a=﹣2 b=﹣1 c=3
C．a=﹣2 b=3 c=﹣1 D．a=﹣1 b=3 c=﹣2
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2=0，
∴﹣2x2+3x﹣1=0，
∴a=﹣2，b=3，c=﹣1
故选C．
【分析】先把方程3x﹣1﹣2x2=0，化为一般形式，再找到a，b，c即可．
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．x
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式：3x2-12x+4=0，再将a、b、c的值代入公式即可求解。
6．以x=为根的一元二次方程可能是（ ）
A．+bx+c=0 B．+bx﹣c=0 C．﹣bx+c=0 D．﹣bx﹣c=0
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数。二次项系数是1，常数项是c；或者二次项系数是-1，常数项是-c。
所以，符合题意的只有C选项．
故选C．
【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
7．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
8．（2019九上·思明期中）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=b2 4ac=0，
又a+b+c=0，即b= a c，
代入b2 4ac=0得( a c)2 4ac=0，
即(a+c)2 4ac=a2+2ac+c2 4ac=a2 2ac+c2=(a c)2=0，
∴a=c
故答案为：A
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
二、填空题
9．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
10．若x2+3xy﹣2y2=0，那么=
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程，得
两边同时乘以得：
（）2+3﹣2=0
设=t，则上式方程即为：
t2+3t﹣2=0，
解得，t=，
所以=；
故答案是：．
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．
11．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是
【答案】四；平方根的定义．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．
12．（华师大版数学九年级上册第22章一元二次方程22.2.3公式法 同步练习）用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac= ，x1= ，x2= ．
【答案】41；； ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】解答2x2-7x+1=0，
a=2，b=-7，c=1，
∴b2-4ac=（-7）2-4×2×1=41，
∴x= ＝
∴x1= ，x2=
所以答案为：41， ，
【分析】根据已知得出a=2，b=-7，c=1，代入b2-4ac求出即可，再代入公式x= 求出即可．
三、计算题
13．（2021九上·韩城期末）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4＝0.
【答案】解：方程化为x2﹣5x+2＝0
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，
则x＝ ，
故x1＝ ，x2＝
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据多项式乘以多项式和合并同类项的法则可将原方程化为一般形式，再根据一元二次方程的求根公式“x=”可求解.
14．（2020九上·福州期末）解方程：
【答案】解：
．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法进行解一元二次方程即可.
15．（2020九上·宿州月考）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
，
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ．
∴原方程无实数根．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用公式法求解即可。
四、解答题
16．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
17．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 的一个根是0，求n的值．
【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据0是所给方程的一个根求出n的值，因为二次项的系数为n－1，所以n≠1．
18．（2019九上·夏河期中）已知关于x的方程kx2+（k+3）x+2＝0，求证：不论k取任何非零实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【答案】解：由题意可知：k≠0，
∴△＝（k+3）2﹣8k
＝k2+6k+9﹣8k
＝k2﹣2k+9
＝k2﹣2k+1+8
＝（k﹣1）2+8＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以这是一个一元二次方程，k≠0，把a=k，b=k+3，c=2代入根的判别式b2-4ac中计算整理成关于k的完全平方式，由偶次方的非负性可得b2-4ac＞0，然后根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解。
19．已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．
【答案】解：由已知得：，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由x=1是方程的一个根，结合方程的根的判别式可得出关于p、q的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由.
【答案】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2kx+k2-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（2k）2-4（k2-k）=4k＞0，
∴k＞0，
∴实数k的取值范围是k＞0．
（2）把x=0代入方程得：k2-k=0，
解得：k=0，k=1，
∵k＞0，
∴k=1，
即0是方程的一个根，
把k=1代入方程得：x2+2x=0，
解得：x=0，x=-2，
即方程的另一个根为x=-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知得出△＞0，求出即可．
（2）把x=0代入方程，求出k的值，把k的值代入方程，求出方程的另一个根即可．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）
一、单选题
1．（2021九上·内江期末）当 时，关于 的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2020九上·胶州月考）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·陇县期中）关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m≥ 且m≠2
C．m≤ 且m≠﹣2 D．m≥
4．用公式解方程3x﹣1﹣2x2=0的过程中，a、b、c的值分别是（ ）
A．a=3 b=﹣1 c=﹣2 B．a=﹣2 b=﹣1 c=3
C．a=﹣2 b=3 c=﹣1 D．a=﹣1 b=3 c=﹣2
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．x
C． D．
6．以x=为根的一元二次方程可能是（ ）
A．+bx+c=0 B．+bx﹣c=0 C．﹣bx+c=0 D．﹣bx﹣c=0
7．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
8．（2019九上·思明期中）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
10．若x2+3xy﹣2y2=0，那么=
11．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是
12．（华师大版数学九年级上册第22章一元二次方程22.2.3公式法 同步练习）用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac= ，x1= ，x2= ．
三、计算题
13．（2021九上·韩城期末）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4＝0.
14．（2020九上·福州期末）解方程：
15．（2020九上·宿州月考）解下列方程：
（1）
（2）
四、解答题
16．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
17．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）关于x的一元二次方程 的一个根是0，求n的值．
18．（2019九上·夏河期中）已知关于x的方程kx2+（k+3）x+2＝0，求证：不论k取任何非零实数，该方程都有两个不相等的实数根.
19．已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为： .
【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解.
2．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，
m-2≠0，
m≠2，
△=9-4×(-1)×(m-2)≥0，
m ，
关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，m的取值范围是m 且m≠2.
故答案为：B.
【分析】关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可.
4．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2=0，
∴﹣2x2+3x﹣1=0，
∴a=﹣2，b=3，c=﹣1
故选C．
【分析】先把方程3x﹣1﹣2x2=0，化为一般形式，再找到a，b，c即可．
5．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式：3x2-12x+4=0，再将a、b、c的值代入公式即可求解。
6．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数。二次项系数是1，常数项是c；或者二次项系数是-1，常数项是-c。
所以，符合题意的只有C选项．
故选C．
【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
7．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=b2 4ac=0，
又a+b+c=0，即b= a c，
代入b2 4ac=0得( a c)2 4ac=0，
即(a+c)2 4ac=a2+2ac+c2 4ac=a2 2ac+c2=(a c)2=0，
∴a=c
故答案为：A
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
9．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
10．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程，得
两边同时乘以得：
（）2+3﹣2=0
设=t，则上式方程即为：
t2+3t﹣2=0，
解得，t=，
所以=；
故答案是：．
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．
11．【答案】四；平方根的定义．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．
12．【答案】41；； ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】解答2x2-7x+1=0，
a=2，b=-7，c=1，
∴b2-4ac=（-7）2-4×2×1=41，
∴x= ＝
∴x1= ，x2=
所以答案为：41， ，
【分析】根据已知得出a=2，b=-7，c=1，代入b2-4ac求出即可，再代入公式x= 求出即可．
13．【答案】解：方程化为x2﹣5x+2＝0
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，
则x＝ ，
故x1＝ ，x2＝
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据多项式乘以多项式和合并同类项的法则可将原方程化为一般形式，再根据一元二次方程的求根公式“x=”可求解.
14．【答案】解：
．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法进行解一元二次方程即可.
15．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
，
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ．
∴原方程无实数根．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用公式法求解即可。
16．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
17．【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵当 时，所给方程不是一元二次方程，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据0是所给方程的一个根求出n的值，因为二次项的系数为n－1，所以n≠1．
18．【答案】解：由题意可知：k≠0，
∴△＝（k+3）2﹣8k
＝k2+6k+9﹣8k
＝k2﹣2k+9
＝k2﹣2k+1+8
＝（k﹣1）2+8＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以这是一个一元二次方程，k≠0，把a=k，b=k+3，c=2代入根的判别式b2-4ac中计算整理成关于k的完全平方式，由偶次方的非负性可得b2-4ac＞0，然后根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解。
19．【答案】解：由已知得：，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由x=1是方程的一个根，结合方程的根的判别式可得出关于p、q的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．
20．【答案】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2kx+k2-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（2k）2-4（k2-k）=4k＞0，
∴k＞0，
∴实数k的取值范围是k＞0．
（2）把x=0代入方程得：k2-k=0，
解得：k=0，k=1，
∵k＞0，
∴k=1，
即0是方程的一个根，
把k=1代入方程得：x2+2x=0，
解得：x=0，x=-2，
即方程的另一个根为x=-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知得出△＞0，求出即可．
（2）把x=0代入方程，求出k的值，把k的值代入方程，求出方程的另一个根即可．
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