初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第1课时）
一、单选题
1．（2021·台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
2．（2021·黑山模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m＞
C．m≤ 且m≠1 D．m＜ 且m≠1
3．（2021·古冶模拟）当 时，关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．（2021·铁西模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
5．（2021·白云模拟）关于x的方程 （a为常数）无实数根，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2021·南海模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则k的最大整数值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
7．（2021·解放模拟）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
8．（2021·禹州模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． ，且
二、填空题
9．（2021·延边州模拟）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的判别式的值为 ．
10．（2020九上·长春期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
11．（2020九上·锦江月考）若关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是 ．
12．（2020九上·福州月考）若关于x的方程kx2﹣3x﹣ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
13．（2021·南沙模拟）已知关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
14．（2020九上·六安期末）已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
三、计算题
15．（2020九上·安徽月考）解方程．
（1）x2-4x-12=0；
（2）x2+15=8x，
四、解答题
16．（2020九上·宁城期末）已知关于x的一元二次方程方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根求整数k的最小值
17．（2020九上·昭阳期末）已知关于x的方程 ，求证：不论m为何值时，方程总有实数根．
18．（2020九上·南关期中）求证：对于任意实数k，关于x的方程 没有实数根．
19．（2019九上·鼓楼期中）关于x的一元二次方程 ，若m为负数，判断方程根的情况.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故答案为：D.
【分析】根据已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
，
根据题意得m-1≠0且 ，
解得 且 ．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵在一元二次方程 中a=1，b=4，c=-k，
∴ ，
∵当 时， ，
∴方程有两个不等的实数根，
故答案为：B．
【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△=（-2 ）2-4k=0，
解得k=6．
故答案为：C．
【分析】由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝ 2，c＝a，
∴△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×1×a＝4 4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】根据方程无实数根，即可得到方程根的判别式小于0，求出a的取值范围，即可判断点的象限。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤ ，
所以k的最大整数值为0．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，得到不等式的解，即可得到最大整数值。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b＞0，c＜0，
∴△＝b2 4c＞0，
∴有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由数轴可得b＞0，c＜0，进而判断出△＝b2 4c的正负，据此可知一元二次方程根的情况.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意得，
4-4 ≥0，且 ≠0，
解之得，
，且 .
故答案为：D.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，注意一元二次方程的二次项系数不能为零，从而得到4-4 ≥0，且 ≠0，求解即可.
9．【答案】8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴△= -4ac= ×2×1=8．
故答案为：8．
【分析】先求出a=2，b=-4，c=1，再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
10．【答案】 ＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为： ＞
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得△＜0，据此解答即可.
11．【答案】 且a≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程 有实数根，
即 且 ．
【分析】根据题意，一元二次方程根有实数根，则判别式 ，结合一元一次不等式不等式解题即可．
12．【答案】k≧-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当 时，解方程 得： ，
符合题意；
当 时， ，
解得： 且 ．
综上所述，实数k的取值范围为 ．
故答案为k≧-1．
【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当 时，通过解一元一次方程可得出 符合题意；当 时，由根的判别式 可求出k的取值范围 综上即可得出结论．
13．【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
14．【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合二次函数的定义列出不等式求解即可。
15．【答案】（1）解：∵x2-4x-12=0．
∴(x-6)(x+2)=0
则x-6=0或x+2=0
解得x1=6，x2=-2
（2）解：∵x2-8x+15=0
∴(x-3)(x-5)=0。
则x-3=0或x-5=0．
解得x1=3，x2=5
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法解一元二次方程，得到答案即可；
（2）同理，利用十字相乘法求出方程的解即可。
16．【答案】解：由题意知△=4-4（k-1）×（-2）>0，且k-1≠0
∴k> ，且k≠1
∴k的最小整数值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】若一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．
17．【答案】证明：情况一：当 时， ．得 ，有实数根．
情况二：当 时，此方程为一元二次方程．
∵ ．
∴不论m为何值时， ，即 ，
∴方程总有实数根．
综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】分类讨论，再利用根的判别式，计算求解即可。
18．【答案】证明：∵
＜0
∴对于任意实数k，关于x的方程 没有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解，最后结果跟0比较即可。
19．【答案】解：△=b2-4ac= =-12m+5，
∵m＜0，
∴-12m＞0．
∴△=-12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第1课时）
一、单选题
1．（2021·台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故答案为：D.
【分析】根据已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
2．（2021·黑山模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤ B．m＞
C．m≤ 且m≠1 D．m＜ 且m≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
，
根据题意得m-1≠0且 ，
解得 且 ．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
3．（2021·古冶模拟）当 时，关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵在一元二次方程 中a=1，b=4，c=-k，
∴ ，
∵当 时， ，
∴方程有两个不等的实数根，
故答案为：B．
【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
4．（2021·铁西模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△=（-2 ）2-4k=0，
解得k=6．
故答案为：C．
【分析】由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
5．（2021·白云模拟）关于x的方程 （a为常数）无实数根，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝ 2，c＝a，
∴△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×1×a＝4 4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】根据方程无实数根，即可得到方程根的判别式小于0，求出a的取值范围，即可判断点的象限。
6．（2021·南海模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则k的最大整数值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤ ，
所以k的最大整数值为0．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，得到不等式的解，即可得到最大整数值。
7．（2021·解放模拟）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b＞0，c＜0，
∴△＝b2 4c＞0，
∴有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由数轴可得b＞0，c＜0，进而判断出△＝b2 4c的正负，据此可知一元二次方程根的情况.
8．（2021·禹州模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． ，且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意得，
4-4 ≥0，且 ≠0，
解之得，
，且 .
故答案为：D.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，注意一元二次方程的二次项系数不能为零，从而得到4-4 ≥0，且 ≠0，求解即可.
二、填空题
9．（2021·延边州模拟）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的判别式的值为 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴△= -4ac= ×2×1=8．
故答案为：8．
【分析】先求出a=2，b=-4，c=1，再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
10．（2020九上·长春期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 ＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为： ＞
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得△＜0，据此解答即可.
11．（2020九上·锦江月考）若关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】 且a≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程 有实数根，
即 且 ．
【分析】根据题意，一元二次方程根有实数根，则判别式 ，结合一元一次不等式不等式解题即可．
12．（2020九上·福州月考）若关于x的方程kx2﹣3x﹣ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】k≧-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当 时，解方程 得： ，
符合题意；
当 时， ，
解得： 且 ．
综上所述，实数k的取值范围为 ．
故答案为k≧-1．
【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当 时，通过解一元一次方程可得出 符合题意；当 时，由根的判别式 可求出k的取值范围 综上即可得出结论．
13．（2021·南沙模拟）已知关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
14．（2020九上·六安期末）已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合二次函数的定义列出不等式求解即可。
三、计算题
15．（2020九上·安徽月考）解方程．
（1）x2-4x-12=0；
（2）x2+15=8x，
【答案】（1）解：∵x2-4x-12=0．
∴(x-6)(x+2)=0
则x-6=0或x+2=0
解得x1=6，x2=-2
（2）解：∵x2-8x+15=0
∴(x-3)(x-5)=0。
则x-3=0或x-5=0．
解得x1=3，x2=5
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法解一元二次方程，得到答案即可；
（2）同理，利用十字相乘法求出方程的解即可。
四、解答题
16．（2020九上·宁城期末）已知关于x的一元二次方程方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根求整数k的最小值
【答案】解：由题意知△=4-4（k-1）×（-2）>0，且k-1≠0
∴k> ，且k≠1
∴k的最小整数值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】若一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．
17．（2020九上·昭阳期末）已知关于x的方程 ，求证：不论m为何值时，方程总有实数根．
【答案】证明：情况一：当 时， ．得 ，有实数根．
情况二：当 时，此方程为一元二次方程．
∵ ．
∴不论m为何值时， ，即 ，
∴方程总有实数根．
综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】分类讨论，再利用根的判别式，计算求解即可。
18．（2020九上·南关期中）求证：对于任意实数k，关于x的方程 没有实数根．
【答案】证明：∵
＜0
∴对于任意实数k，关于x的方程 没有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解，最后结果跟0比较即可。
19．（2019九上·鼓楼期中）关于x的一元二次方程 ，若m为负数，判断方程根的情况.
【答案】解：△=b2-4ac= =-12m+5，
∵m＜0，
∴-12m＞0．
∴△=-12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
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