初中数学人教版九年级上册——21.2.3解一元二次方程——因式分解法
一、单选题
1．（2021九下·南宁开学考）一元二次方程 的根为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即： ，
∴ 或 ，
故答案为：D.
【分析】用因式分解法解方程，首先将方程整理成一般形式，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
2．（2020九上·汾阳月考）解方程 ，较简便的方法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法
C．公式法 D．以上三种方法都简便
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
或 ，
故答案为：A．
【分析】根据题目的结构特点，提取公因式x＋5可以进行因式分解法解方程．
3．（2018九上·温州开学考）若一个三角形的三边长都满足方程 －6x＋8＝0，则这样的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得：x=2或x=4，
∵三角形的边长是x2-6x+8=0的根，
∴此三角形可以是以2为边的等边三角形，还可以是以4为边的等边三角形，还可以是以4为腰，以2为底的等腰三角形，
∴这样的三角形有3个.
故答案为：C.
【分析】首先利用因式分解法求出方程的两个根，根据方程的根满足三角形的三边长，故三角形可以是以2为边的等边三角形，还可以是以4为边的等边三角形，还可以是以4为腰，以2为底的等腰三角形。
4．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
5．（2020九上·丰南月考）小华在解方程x2=-5x时，得x=-5，则他漏掉的一个根是（ ）
A．x=-5 B．x=0 C．x=-1 D．x=1
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】方程移项得：x2+5x=0，
分解因式得：x（x+5）=0，
解得：x1=0,x2= 5，
则他漏掉的一个根式x=0，
故答案为：B.
【分析】移项，再利用因式分解求解即可。
6．（2021九上·东坡期末）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项，得 ，
分解因式，得 ，
则 或 ，
解得： .
故答案为：C.
【分析】先将原方程整理为 ，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论.
7．（2021九下·江油开学考）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4 （x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，
因式分解，可得(a-1)(a+5)=0，
∴a=1或a=-5（舍去），
∴x2-2x+1=1.
故答案为：C.
【分析】首先令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，然后对其因式分解就可得到a的值，最后进行取舍即可.
8．（2021九上·原州期末）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+x-12=0，
（x-3）（x+4）=0，
x-3=0或x+4=0，
解得：x1=3，x2=-4，
故答案为：A.
【分析】观察方程的特点：左边可以分解因式，右边等于0，由此利用因式分解法求出方程的解.
二、填空题
9．（2021九上·大洼期末）方程x(x－2)=(2－x)的解为 .
【答案】x1=2，x2=-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-2）+（x-2）=0，
（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=-1.
故答案为：x1=2，x2=-1.
【分析】先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程.
10．（2020·平遥模拟）方程 的解为 ．
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或
解得： ，
故答案为： ， ．
【分析】因式分解法解方程直接作答即可．
11．（2019九上·洮北月考）一元二次方程 的解是
【答案】x1=-2，x2=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴(x+2)(x-4)=0，
∴x+2=0，x-4=0，
∴x1=-2，x2=4.
【分析】本题考查的重点是十字相乘法解一元二次方程。-8分成-4和2即可。
12．（2019九上·江都月考）若 ，则代数式 的值为 .
【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得: ，
可得 或 ，
解得： 或 (舍去)
则 的值是4.
故答案为: 4
【分析】将方程左边进行因式分解可得，可得 或 ，据此求出结论.
13．方程2（1-x）2=3（x-1）的解是 ．
【答案】x1=1，x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程2（1-x）2=3（x-1），
移项得：2（1-x）2-3（x-1）=0，
变形得：2（x-1）2-3（x-1）=0，
因式分解得：（x-1）[2（x-1）-3]=0，
即（x-1）（2x-5）=0，
解得：x1=1，x2= ．
故答案为：x1=1，x2=
【分析】观察原方程，移项后可提公因式（x-1），将方程左边分解因式求解。
三、计算题
14．（2021九上·平罗期末）解方程
【答案】解：
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可.
15．（2021九上·富县期末）解方程： .
【答案】解： ，
∴ ，或 ，
∴ ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】直接先将左边利用十字相乘法因式分解，接着令每一个因式分别为零，得到一元一次方程， 最后解一元一次方程即可得到原方程的解.
16．（2021九上·防城港期末）解方程：x2﹣1＝3（x+1）.
【答案】解：
整理得：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程整理为 再利用因式分解把方程化为： 从而可得答案.
17．（2020九上·武功月考）用适当的方法解下列方程：
【答案】解：
或
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.先把方程移项得（3x-2）2-x2=0，再利用因式分解法把一元二次方程化成两个一元一次方程，求出一元一次方程方程的解，即可求解.
四、解答题
18．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
19．（2020九上·榆林月考）阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
【答案】解： （1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意分为两种情况：（1）当 时，原方程化为 ，（2）当 时，原方程化为 ，然后利用因式分解法求出方程的解即可.
1 / 1初中数学人教版九年级上册——21.2.3解一元二次方程——因式分解法
一、单选题
1．（2021九下·南宁开学考）一元二次方程 的根为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（2020九上·汾阳月考）解方程 ，较简便的方法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法
C．公式法 D．以上三种方法都简便
3．（2018九上·温州开学考）若一个三角形的三边长都满足方程 －6x＋8＝0，则这样的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
5．（2020九上·丰南月考）小华在解方程x2=-5x时，得x=-5，则他漏掉的一个根是（ ）
A．x=-5 B．x=0 C．x=-1 D．x=1
6．（2021九上·东坡期末）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九下·江油开学考）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4 （x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
8．（2021九上·原州期末）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·大洼期末）方程x(x－2)=(2－x)的解为 .
10．（2020·平遥模拟）方程 的解为 ．
11．（2019九上·洮北月考）一元二次方程 的解是
12．（2019九上·江都月考）若 ，则代数式 的值为 .
13．方程2（1-x）2=3（x-1）的解是 ．
三、计算题
14．（2021九上·平罗期末）解方程
15．（2021九上·富县期末）解方程： .
16．（2021九上·防城港期末）解方程：x2﹣1＝3（x+1）.
17．（2020九上·武功月考）用适当的方法解下列方程：
四、解答题
18．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．（2020九上·榆林月考）阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即： ，
∴ 或 ，
故答案为：D.
【分析】用因式分解法解方程，首先将方程整理成一般形式，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
2．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
或 ，
故答案为：A．
【分析】根据题目的结构特点，提取公因式x＋5可以进行因式分解法解方程．
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得：x=2或x=4，
∵三角形的边长是x2-6x+8=0的根，
∴此三角形可以是以2为边的等边三角形，还可以是以4为边的等边三角形，还可以是以4为腰，以2为底的等腰三角形，
∴这样的三角形有3个.
故答案为：C.
【分析】首先利用因式分解法求出方程的两个根，根据方程的根满足三角形的三边长，故三角形可以是以2为边的等边三角形，还可以是以4为边的等边三角形，还可以是以4为腰，以2为底的等腰三角形。
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】方程移项得：x2+5x=0，
分解因式得：x（x+5）=0，
解得：x1=0,x2= 5，
则他漏掉的一个根式x=0，
故答案为：B.
【分析】移项，再利用因式分解求解即可。
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项，得 ，
分解因式，得 ，
则 或 ，
解得： .
故答案为：C.
【分析】先将原方程整理为 ，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，
因式分解，可得(a-1)(a+5)=0，
∴a=1或a=-5（舍去），
∴x2-2x+1=1.
故答案为：C.
【分析】首先令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，然后对其因式分解就可得到a的值，最后进行取舍即可.
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+x-12=0，
（x-3）（x+4）=0，
x-3=0或x+4=0，
解得：x1=3，x2=-4，
故答案为：A.
【分析】观察方程的特点：左边可以分解因式，右边等于0，由此利用因式分解法求出方程的解.
9．【答案】x1=2，x2=-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-2）+（x-2）=0，
（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=-1.
故答案为：x1=2，x2=-1.
【分析】先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程.
10．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或
解得： ，
故答案为： ， ．
【分析】因式分解法解方程直接作答即可．
11．【答案】x1=-2，x2=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴(x+2)(x-4)=0，
∴x+2=0，x-4=0，
∴x1=-2，x2=4.
【分析】本题考查的重点是十字相乘法解一元二次方程。-8分成-4和2即可。
12．【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得: ，
可得 或 ，
解得： 或 (舍去)
则 的值是4.
故答案为: 4
【分析】将方程左边进行因式分解可得，可得 或 ，据此求出结论.
13．【答案】x1=1，x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程2（1-x）2=3（x-1），
移项得：2（1-x）2-3（x-1）=0，
变形得：2（x-1）2-3（x-1）=0，
因式分解得：（x-1）[2（x-1）-3]=0，
即（x-1）（2x-5）=0，
解得：x1=1，x2= ．
故答案为：x1=1，x2=
【分析】观察原方程，移项后可提公因式（x-1），将方程左边分解因式求解。
14．【答案】解：
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可.
15．【答案】解： ，
∴ ，或 ，
∴ ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】直接先将左边利用十字相乘法因式分解，接着令每一个因式分别为零，得到一元一次方程， 最后解一元一次方程即可得到原方程的解.
16．【答案】解：
整理得：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程整理为 再利用因式分解把方程化为： 从而可得答案.
17．【答案】解：
或
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.先把方程移项得（3x-2）2-x2=0，再利用因式分解法把一元二次方程化成两个一元一次方程，求出一元一次方程方程的解，即可求解.
18．【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
19．【答案】解： （1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意分为两种情况：（1）当 时，原方程化为 ，（2）当 时，原方程化为 ，然后利用因式分解法求出方程的解即可.
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