初中数学人教版九年级上册——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．（2021九上·鄂州期末）一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
3．（2021九上·来宾期末）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则 的值为（ ）.
A．0或1 B．0 C．1 D．
4．（2020九上·青神期中）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021·海丰模拟）已知关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2020九上·翁牛特旗期末）若2是关于方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
7．（2021·南宁模拟）设m、n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
8．（2021·河东模拟）设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
二、填空题
9．（2021·南昌模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值 ．
10．（2021·靖江模拟）设方程x2﹣4x+1＝0的两个根为x1与x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 .
11．（2021·玄武模拟）设 ， 是关于 的方程 的两个根，且 ，则 .
12．（2021九下·庆云月考）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为 ．
13．（2021·南通模拟）若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根.则x12x2+x1x22值为 .
14．（2021九下·泸县月考）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 .
三、解答题
15．（2020九上·乐陵月考）已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）
（2）
16．（2020九上·莲湖月考）若一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值.
17．（2017·黄石模拟）已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且 + =﹣ ，则m的值是多少？
18．（2021·巨野模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
19．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足|x1|+|x2|=3，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得：
= = =-2.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可知， = ，据此求解即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴m=0.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先列出两根之和与两根之积的表达式，结合即可求出m值
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴a2+b2+ab
＝（a+b）2﹣ab
＝4+1
＝5．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得a+b＝2，ab＝﹣1，利用配方将a2+b2+ab变形为（a+b）2﹣ab，然后整体代入计算即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于 的一元二次方程 的一个根是2，设另一个根是 ，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设这个方程的另一个根为 ，
由一元二次方程根与系数的关系得： ，
解得 a=3 ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，且m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020.
故答案为：C.
【分析】由于m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2021=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝ ，
∴a+b＝ ；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为：8或8±2 ．
【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝ ；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
10．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴ ， .
∴ .
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=、x1x2=”可得x1+x2=4，x1x2=1，然后用整体代换即可求解.
11．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2及x1·x2的值，整体代入，建立关于m的方程，解方程求出m的值.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【分析】由x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ .
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，将原式变形为，然后代入计算即可.
14．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴ = =-5，
故答案为-5.
【分析】先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积的值，再把原式得分子根据完全平方式变形代值即可
15．【答案】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，
∴ ，
＝ (x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1)＝11
（2）解：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得 ；（1）将所求式子变形为(x1＋x2)2－2x1x2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为 ，然后整体代入上面两个式子计算即可．
16．【答案】解：∵ 的两个实数根分别为 ， ，
∴变形为 ，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，
∴ ，
故答案为：-2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】首先将方程整理成一般形式，然后根据根与系数的关系得出 ， 然后将代数式去括号后整体代入即可.
17．【答案】解：根据题意得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），
∵ + =﹣ ，
∴ =﹣ ，
∴ =﹣ ，
解得m= ，
∵△＞0，
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），再变形已知条件得到 =﹣ ，则 =﹣ ，然后解方程求出m，再利用判别式的意义可确定m的值．
18．【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1 x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
19．【答案】解：（1）若方程有实数根，
则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，
∴k≤
∴当k≤时，此方程有实数根；
（2）根据题意得x1+x2=2k﹣3，x1 x2=k2+1＞0，
则x1、x2同号，
当x1＞0，x2＞0，则x1+x2=3，即2k﹣3=3，解得k=3，
当k=3时，原方程无实数根，舍去，
当x1＜0，x2＜0，则﹣（x1+x2）=3，即﹣（2k﹣3）=3，解得k=0，
即k的值为0．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k﹣3，x1 x2=k2+1＞0，则可判断x1、x2同号，然后去绝对值，当x1+x2=3，即2k﹣3=3；当﹣（x1+x2）=3，即﹣（2k﹣3）=3，然后分别解关于k的方程即可．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．（2021九上·鄂州期末）一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得：
= = =-2.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可知， = ，据此求解即可.
2．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
3．（2021九上·来宾期末）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则 的值为（ ）.
A．0或1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴m=0.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先列出两根之和与两根之积的表达式，结合即可求出m值
4．（2020九上·青神期中）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴a2+b2+ab
＝（a+b）2﹣ab
＝4+1
＝5．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得a+b＝2，ab＝﹣1，利用配方将a2+b2+ab变形为（a+b）2﹣ab，然后整体代入计算即可.
5．（2021·海丰模拟）已知关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于 的一元二次方程 的一个根是2，设另一个根是 ，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可。
6．（2020九上·翁牛特旗期末）若2是关于方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设这个方程的另一个根为 ，
由一元二次方程根与系数的关系得： ，
解得 a=3 ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得．
7．（2021·南宁模拟）设m、n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，且m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020.
故答案为：C.
【分析】由于m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2021=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果.
8．（2021·河东模拟）设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
二、填空题
9．（2021·南昌模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝ ，
∴a+b＝ ；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为：8或8±2 ．
【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝ ；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
10．（2021·靖江模拟）设方程x2﹣4x+1＝0的两个根为x1与x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴ ， .
∴ .
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=、x1x2=”可得x1+x2=4，x1x2=1，然后用整体代换即可求解.
11．（2021·玄武模拟）设 ， 是关于 的方程 的两个根，且 ，则 .
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2及x1·x2的值，整体代入，建立关于m的方程，解方程求出m的值.
12．（2021九下·庆云月考）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【分析】由x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
13．（2021·南通模拟）若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根.则x12x2+x1x22值为 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ .
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，将原式变形为，然后代入计算即可.
14．（2021九下·泸县月考）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 .
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴ = =-5，
故答案为-5.
【分析】先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积的值，再把原式得分子根据完全平方式变形代值即可
三、解答题
15．（2020九上·乐陵月考）已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，
∴ ，
＝ (x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1)＝11
（2）解：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得 ；（1）将所求式子变形为(x1＋x2)2－2x1x2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为 ，然后整体代入上面两个式子计算即可．
16．（2020九上·莲湖月考）若一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值.
【答案】解：∵ 的两个实数根分别为 ， ，
∴变形为 ，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，
∴ ，
故答案为：-2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】首先将方程整理成一般形式，然后根据根与系数的关系得出 ， 然后将代数式去括号后整体代入即可.
17．（2017·黄石模拟）已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且 + =﹣ ，则m的值是多少？
【答案】解：根据题意得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），
∵ + =﹣ ，
∴ =﹣ ，
∴ =﹣ ，
解得m= ，
∵△＞0，
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），再变形已知条件得到 =﹣ ，则 =﹣ ，然后解方程求出m，再利用判别式的意义可确定m的值．
18．（2021·巨野模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1 x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
19．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足|x1|+|x2|=3，求k的值．
【答案】解：（1）若方程有实数根，
则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，
∴k≤
∴当k≤时，此方程有实数根；
（2）根据题意得x1+x2=2k﹣3，x1 x2=k2+1＞0，
则x1、x2同号，
当x1＞0，x2＞0，则x1+x2=3，即2k﹣3=3，解得k=3，
当k=3时，原方程无实数根，舍去，
当x1＜0，x2＜0，则﹣（x1+x2）=3，即﹣（2k﹣3）=3，解得k=0，
即k的值为0．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k﹣3，x1 x2=k2+1＞0，则可判断x1、x2同号，然后去绝对值，当x1+x2=3，即2k﹣3=3；当﹣（x1+x2）=3，即﹣（2k﹣3）=3，然后分别解关于k的方程即可．
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