初中数学湘教版九年级上册2.1一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·平桂期中）下列各式是一元二次方程一般形式的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2021·潜江模拟）下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0
C．x2+2x＝0 D．x2﹣ ＝0
3．（2021·禹州模拟）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2y＝3x+2 B．3x2﹣1＝2x C．2x2﹣1＝ D．5＝x+3
4．（2021九下·吴中开学考）把一元二次方程 化成一般形式，则a，b，c的值分别是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·武汉模拟）将方程 化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．-2，6 B．-2，-6 C．2，6 D．2，-6
6．（2020七下·上海期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020八下·密山期末）在4（x﹣1）（x+2）=5，x2+y2=1，5x2﹣10=0，2x2+8x=0， =x2+3中，是一元二次方程的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2020九上·常州月考）下列方程中，常数项为零的是（ ）
A．x2+x=1 B．2x2-x-12=12
C．2(x2-1)=3(x-1) D．2(x2+1)=x+2
9．（2020九上·南京期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．±2
10．（2021·长安模拟）亮亮在解一元二次方程： □ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．1 B．0 C．7 D．9
二、填空题
11．（2021·永州模拟）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是
12．（2021九上·龙岩期末）若（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 .
13．（2021九上·防城港期末）将一元二次方程2x2＝x﹣1化成一般形式是 .
14．（2020九上·云县期末）已知（m﹣2）x|m|+bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
15．（2020九上·滨海期中）把方程 化为一元二次方程的一般形式，其结果是 ．
16．（2020九上·惠山月考）当m= 时，关于x的方程 是一元二次方程.
三、解答题
17．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
18．（2020九上·灵璧期中）若方程(m-2) +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
19．求证：关于x的方程 ，无论m取何值，该方程都是一元二次方程.
20．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
21．（2019八下·宣州期中）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A选项，是一元二次方程的一般形式，故A正确；
B选项，常数项在等式右端，不符合一般形式定义，故B错误；
C选项，只有二次项在等式左端，不符合一般形式定义，故C错误；
D选项，含有括号，没有化简，不符合一般形式定义，故D错误；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是方程的右边为0，由此排除B，C；方程左边要化简，可以排除D，即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数项的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、2y＝3x+2，是二元一次方程，故A不符合题意；
B、3x2﹣1＝2x，是一元二次方程，故B符合题意；
C、2x2﹣1＝ ，是分式方程，故C不符合题意；
D、5＝x+3，是一元一次方程，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的项的最高次数为2的整式方程，从而作答.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：x2-3x+10=0，
则a=1，b=-3，c=10.
故答案为：D.
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ，
一次项系数为：-2， 常数项为：-6
故答案为：B.
【分析】把一元二次方程化为“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的形式就是一般形式，其中a叫做二次项的数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此判断各项系数，从而可得答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】① 整理后为4x=20，故不符合定义；
② ，不符合定义；
③ ，不符合定义；
④ ，符合定义；
⑤ ，符合定义；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判定即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：是一元二次方程的有：4（x﹣1）（x+2）=5，5x2﹣10=0，2x2+8x=0共3个，
故答案为：B.
【分析】只含有一个未知数并且未知项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.由原方程得 x2+x﹣1=0，常数项是﹣1，故本选项错误；
B.由原方程得 2x2﹣x﹣24=0，常数项是﹣24，故本选项错误；
C.由原方程得 2x2﹣3x+1=0，常数项是1，故本选项错误；
D.由原方程得 2x2+x=0，常数项是0，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】要确定常数项，首先要把方程化成一般形式，逐一判断选项即可.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，
∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：C.
【分析】含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），其中，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，从而即可列出混合组，求解即可.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式先求出△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再求出c≤9，最后求解即可。
11．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项，将方程组转化为形如“ax2+bx+c=0（a≠0）”的形式，其中a就是二次项的系数，b就是一次项的系数，c就是常数项，据此即可求出常数项.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，
∴ ，
解得： .
故答案为 .
【分析】由一元二次方程的定义可知二次项系数不等于0，据此列式求解即可.
13．【答案】2x2﹣x＋1＝0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：2x2＝x﹣1
移项，得2x2﹣x＋1＝0，
故答案为：2x2﹣x＋1＝0.
【分析】根据一元二次方程的一般形式的要求，把方程2x2＝x﹣1各项移到方程左边即可.
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：
即 ，
故答案为：-2．
【分析】根据一元二次方程的定义求出，最后计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
，
，
∴方程 化为一元二次方程的一般形式为 ，
故答案为: ．
【分析】根据一元二次方程的一般式直接进行求解即可．
16．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：二次项系数不为零， ， ，
最高次数为二次， ， ，
∴ .
故答案是：-3.
【分析】根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不能为零，最高次数为二次，从而列出混合组，求解即可.
17．【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
18．【答案】解：根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-2=2且m-2≠0,据此求出m的值，然后代入代数式计算即可.
19．【答案】证明：经分析知 ，且 恒成立
由此即可证明无论m取何值关于x的方程 的二次项系数一直大于0，
所以该方程会一直为一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据题意可知，方程总是为一元二次方程，即可得到二次项的系数不为0，结合偶次幂的非负性即可进行证明。
20．【答案】解：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a，c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－ =0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的特征，结合题目给出的三个条件，写出一个符合条件的一元二方程。
21．【答案】（1）解：由(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝
（2）解：由(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得
△＝(2 )2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0，
4k＋4＋4(1﹣2k)≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，
即﹣1≤k＜ 或 ＜k≤2，
此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜ 或 ＜k≤2
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）因为方程为一元一次方程，所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0，令二次项系数1－2k＝0求出k的值即可；（2）令△≥0，二次项系数不等于0，被开方式大于等于0进行解答即可．
1 / 1初中数学湘教版九年级上册2.1一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·平桂期中）下列各式是一元二次方程一般形式的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A选项，是一元二次方程的一般形式，故A正确；
B选项，常数项在等式右端，不符合一般形式定义，故B错误；
C选项，只有二次项在等式左端，不符合一般形式定义，故C错误；
D选项，含有括号，没有化简，不符合一般形式定义，故D错误；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是方程的右边为0，由此排除B，C；方程左边要化简，可以排除D，即可得到答案.
2．（2021·潜江模拟）下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0
C．x2+2x＝0 D．x2﹣ ＝0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数项的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断.
3．（2021·禹州模拟）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2y＝3x+2 B．3x2﹣1＝2x C．2x2﹣1＝ D．5＝x+3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、2y＝3x+2，是二元一次方程，故A不符合题意；
B、3x2﹣1＝2x，是一元二次方程，故B符合题意；
C、2x2﹣1＝ ，是分式方程，故C不符合题意；
D、5＝x+3，是一元一次方程，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的项的最高次数为2的整式方程，从而作答.
4．（2021九下·吴中开学考）把一元二次方程 化成一般形式，则a，b，c的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：x2-3x+10=0，
则a=1，b=-3，c=10.
故答案为：D.
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可.
5．（2021·武汉模拟）将方程 化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．-2，6 B．-2，-6 C．2，6 D．2，-6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ，
一次项系数为：-2， 常数项为：-6
故答案为：B.
【分析】把一元二次方程化为“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的形式就是一般形式，其中a叫做二次项的数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此判断各项系数，从而可得答案.
6．（2020七下·上海期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】① 整理后为4x=20，故不符合定义；
② ，不符合定义；
③ ，不符合定义；
④ ，符合定义；
⑤ ，符合定义；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判定即可。
7．（2020八下·密山期末）在4（x﹣1）（x+2）=5，x2+y2=1，5x2﹣10=0，2x2+8x=0， =x2+3中，是一元二次方程的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：是一元二次方程的有：4（x﹣1）（x+2）=5，5x2﹣10=0，2x2+8x=0共3个，
故答案为：B.
【分析】只含有一个未知数并且未知项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
8．（2020九上·常州月考）下列方程中，常数项为零的是（ ）
A．x2+x=1 B．2x2-x-12=12
C．2(x2-1)=3(x-1) D．2(x2+1)=x+2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.由原方程得 x2+x﹣1=0，常数项是﹣1，故本选项错误；
B.由原方程得 2x2﹣x﹣24=0，常数项是﹣24，故本选项错误；
C.由原方程得 2x2﹣3x+1=0，常数项是1，故本选项错误；
D.由原方程得 2x2+x=0，常数项是0，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】要确定常数项，首先要把方程化成一般形式，逐一判断选项即可.
9．（2020九上·南京期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．±2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，
∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：C.
【分析】含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），其中，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，从而即可列出混合组，求解即可.
10．（2021·长安模拟）亮亮在解一元二次方程： □ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．1 B．0 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式先求出△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再求出c≤9，最后求解即可。
二、填空题
11．（2021·永州模拟）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项，将方程组转化为形如“ax2+bx+c=0（a≠0）”的形式，其中a就是二次项的系数，b就是一次项的系数，c就是常数项，据此即可求出常数项.
12．（2021九上·龙岩期末）若（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，
∴ ，
解得： .
故答案为 .
【分析】由一元二次方程的定义可知二次项系数不等于0，据此列式求解即可.
13．（2021九上·防城港期末）将一元二次方程2x2＝x﹣1化成一般形式是 .
【答案】2x2﹣x＋1＝0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：2x2＝x﹣1
移项，得2x2﹣x＋1＝0，
故答案为：2x2﹣x＋1＝0.
【分析】根据一元二次方程的一般形式的要求，把方程2x2＝x﹣1各项移到方程左边即可.
14．（2020九上·云县期末）已知（m﹣2）x|m|+bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：
即 ，
故答案为：-2．
【分析】根据一元二次方程的定义求出，最后计算求解即可。
15．（2020九上·滨海期中）把方程 化为一元二次方程的一般形式，其结果是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
，
，
∴方程 化为一元二次方程的一般形式为 ，
故答案为: ．
【分析】根据一元二次方程的一般式直接进行求解即可．
16．（2020九上·惠山月考）当m= 时，关于x的方程 是一元二次方程.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：二次项系数不为零， ， ，
最高次数为二次， ， ，
∴ .
故答案是：-3.
【分析】根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不能为零，最高次数为二次，从而列出混合组，求解即可.
三、解答题
17．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
18．（2020九上·灵璧期中）若方程(m-2) +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
【答案】解：根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-2=2且m-2≠0,据此求出m的值，然后代入代数式计算即可.
19．求证：关于x的方程 ，无论m取何值，该方程都是一元二次方程.
【答案】证明：经分析知 ，且 恒成立
由此即可证明无论m取何值关于x的方程 的二次项系数一直大于0，
所以该方程会一直为一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据题意可知，方程总是为一元二次方程，即可得到二次项的系数不为0，结合偶次幂的非负性即可进行证明。
20．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】解：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a，c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－ =0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的特征，结合题目给出的三个条件，写出一个符合条件的一元二方程。
21．（2019八下·宣州期中）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
【答案】（1）解：由(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝
（2）解：由(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得
△＝(2 )2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0，
4k＋4＋4(1﹣2k)≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，
即﹣1≤k＜ 或 ＜k≤2，
此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜ 或 ＜k≤2
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）因为方程为一元一次方程，所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0，令二次项系数1－2k＝0求出k的值即可；（2）令△≥0，二次项系数不等于0，被开方式大于等于0进行解答即可．
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