2021年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
6．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
10．（2021·新高考Ⅰ）已知点P在圆 + =16上，点A（4,0），B（0,2），则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=3 D．当∠PBA最大时，|PB|=3
11．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、填空题
12．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
13．（2021·全国乙卷）双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
14．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
15．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为
16．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
17．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
18．（2021·北京）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．
19．（2021·浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
20．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 ．
四、解答题
21．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
22．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
23．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
24．（2021·新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点 (- ，0)， ( ，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
25．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
26．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
27．（2021·浙江）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
28．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
2．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
5．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
7．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
9．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c，0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入，得，解得，所以，
又因为双曲线的渐近线为，所以，
所以，则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线AB为：，即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为，则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
12．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
13．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
14．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
15．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设，则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
17．【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0,1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
18．【答案】5；
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.
19．【答案】；
【知识点】圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
因为圆B方程：，所以|AB|=C， BF1= 所以
所以直线PF1的斜率为k=
将x=c代入椭圆方程， ，可得P点的坐标：
由 ，所以 ，于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【分析】（1）取特殊值c=2，根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得 的值；
（2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算 a的值，进一步得到离心率。
20．【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
21．【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
22．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
23．【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
24．【答案】（1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
25．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
26．【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
27．【答案】（1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2） 设 ， 并设 ， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ，结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
28．【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
1 / 12021年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
2．（2021·全国甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
3．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
4．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
5．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
6．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
7．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
8．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
9．（2021·天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c，0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入，得，解得，所以，
又因为双曲线的渐近线为，所以，
所以，则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.
二、多选题
10．（2021·新高考Ⅰ）已知点P在圆 + =16上，点A（4,0），B（0,2），则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=3 D．当∠PBA最大时，|PB|=3
【答案】A,C,D
【知识点】直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线AB为：，即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为，则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.
11．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
三、填空题
12．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
13．（2021·全国乙卷）双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
14．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
15．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设，则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
16．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
17．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0,1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
18．（2021·北京）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．
【答案】5；
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.
19．（2021·浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】；
【知识点】圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
因为圆B方程：，所以|AB|=C， BF1= 所以
所以直线PF1的斜率为k=
将x=c代入椭圆方程， ，可得P点的坐标：
由 ，所以 ，于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【分析】（1）取特殊值c=2，根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得 的值；
（2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算 a的值，进一步得到离心率。
20．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 ．
【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
四、解答题
21．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
22．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
23．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
24．（2021·新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点 (- ，0)， ( ，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
【答案】（1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
25．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
26．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
27．（2021·浙江）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2） 设 ， 并设 ， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ，结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
28．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
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