湖南省郴州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

郴州市2020-2021学年高二下学期期末考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1、试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
2、答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面.上.
3、考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合false，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.若复数false的模为5，虚部为false，则复数false（ ）
A.false B.false
C.false或false D.false
3.已知等比数列中false，false，数列false是等差数列，且false，则false（ ）
A.3 B.6 C.7 D.8
4.刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正false边形等分成false个等腰三角形如图1所示，当false变得很大时，这false个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到false的近似值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
5.设false，false，false，则（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.已知平面向量false，false满足，false，false，若false，则false的最大值为（ ）
A.1 B.false C.false D.2
7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了人（医生和护士均至少有一人）分配到false，false，false三个地区参加医疗支援工作（每个地区一人），方案要求医生不能去false地区，则分配方案共有（ ）
A.264种 B.224种 C.200种 D.236种
8.已知函数false（false且false）.若函数false的图象上有且只有两个点关于原点对称，则false的取值范围是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图2所示，甲、乙两组数据的平均值分别为false、false，则（ ）
A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B.甲的成绩比乙稳定
C.false一定大于false D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
10.已知false，则下列结论一定正确的是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
11.关于函数false有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.false是偶函数 B.false在false上有3个零点
C.false在false上单调递增 D.false的最大值为2
12.如图3所示，正三棱柱false各棱的长度均相等，false为false的中点，false、false分别是线段false和线段false上的动点（含端点），且满足false，当false、false运动时，下列结论中正确的是（ ）
A.false是等腰三角形
B.在false内总存在与平面false垂直的线段
C.三棱锥false的体积是三棱柱false的体积的false
D.false
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知直线false是函数false的一条对称轴，写出false的一个可能值为 .
14.已知随机变量false，false满足false，false，false .
15.false的展开式中各项系数的和为2，则展开式中常数项为 .
16.已知扇形false半径为1，false，弧false上的点false满足false，则false的最大值是 ；false最小值是 .
四、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.（本小题满分10分）
在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）若false的面积为false，false为false的中点，求false的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知正项数列false的前false项和为false，对false有false.
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）若false，求false的前项和false.
19.（本小题满分12分）
如图4，矩形false中，false，false，false为false的中点，把false沿false翻折，满足false.
（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）求二面角false的余弦值.
20.（本小题满分12分）
足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App（应用程序）公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下：
月份
1
2
3
4
5
不满意的人数
120
105
100
95
80
（Ⅰ）请利用所给数据求不满意人数false与月份false之间的回归直线方程false，并预测该小区10月份的对这款App不满意人数：
（Ⅱ）工作人员发现使用这款App居民的年龄false近似服从正态分布false，求false的值；
（Ⅲ）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表：
使用App
不使用App
女性
48
12
男性
22
18
能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？
参考公式：false，false.
附：随机变量：false，则false
false，false
false（其中false）
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21.（本小题满分12分）
已知圆false经过两点false，false且圆心false在直线false上.
（Ⅰ）求圆false的方程；
（Ⅱ）设false，false是圆false上异于原点false的两点，直线false，false的斜率分别为false，false，且false，求证：直线false经过一定点，并求出该定点的坐标.
22.（本小题满分12分）
某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲、乙两人同一组，甲、乙两人丟圈套中的概率为别为pi，p2，假设两人是否套中相互没有影响.
（Ⅰ）若false，false设甲、乙两人丟圈套中的次数之和为false，求false的分布列及数学期望false.
（Ⅱ）若false，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时false，false的值.
郴州市2020-2021学年高二下学期期末考试
数学参考答案和评分细则
一、单选题
1-4 CCDB 5-8DDCC
二、多选题
9.BC 10.AB 11.AD 12.ABD
三、填空题
13.false（答案不唯一，形如false，false都可以）
14.4 15.40 16.2 false（第一空2分，第二空3分）
四、解答题
17.（Ⅰ）由false及正弦定理
可得：false
∴false
∵false∴false
（Ⅱ）由题意知false，得false.
由余弦定理得false，
当且仅当false且false，即false，false时取等号，所以false的最小值为false.
18.解：（Ⅰ）∵false，①
∴当false时，false，解得false；
当false时，false，②
由①false②得false，
化为false，
∵false有false，∴false.
数列false是以首项为1，公差为1的等差数列.
∴false.
∴false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得false
∵false，∴false，
∴false
false.
19.（Ⅰ）证明：由已知可得false，false，在false中，满足false
∴false
∵false，且false，false，false平面false，∴false平面false
又false平面false，∴平面false平面false.
（Ⅱ）解：法一：（几何法）如图所示，连接false，取false中点false，连接false，
∴false，过false作false交false于false点，连接false，false
∵平面false平面false，
false平面false平面false，
∴false平面false，∴false又false∴false平面false∴false
false即为所求的二面角的平面角
由false，
∴false，false
又false，
∴false∴二面角false的余弦值为false.
法二：（向量法）取false的中点false，连接false
∵false∴false∵平面false平面false，
false平面false平面false，
∴false平面false
如图所示，以false为坐标原点，
以false，false分别为false，false轴，过false作false的平行线为false轴，建立空间直角坐标系，则
false，false，，false
∴false，false
设false为平面false的法向量，有false
不妨令false，则false，false.∴false，
而平面false的其中一个法向量显然为false
false
二面角false的余弦值为false.
20.解：（Ⅰ）由表中的数据可知，false，
false，
所以false，
故false，
所以所求的回归直线方程为false；
令false，则false人；
（Ⅱ）依题意得false
false
（Ⅲ）提出假设false：是否使用这款App与性别无关，
由表中的数据可得false，
根据临界值可得，有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关
21.解：（Ⅰ）设圆false的方程为：false
由题意得：false
圆false的方程：false.
（Ⅱ）设直线false：false，
由false
false
设false，false，false，false
∴false
false
∴false，代入false得false
直线false必过定点false
22.解：（Ⅰ）两人丢圈套中的次数值和为false，则false的值可能为0，1，2，3，4
false
false
false
false
false
分布列如下表：
false
0
1
2
3
4
false
false
false
false
false
false
false
（Ⅱ）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为
false
因为false，所以false
因为false，false，false，所以false，false，
所以false，令false，以false，则false
当false时，false
他们小组在false轮游戏中获“最佳拍档”次数false满足false
由false，则false，所以理论上至少要进行27轮游戏.此时false，false，
false