2021-2022学年八年级数学北师大版上册2.7 二次根式的概念及性质-课件（21张PPT）

2.7 第1课时 二次根式概念及性质
问题1 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根?
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
问题3 什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
知识回顾
情景导入
观察下列代数式：
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.
获取新知
其中a叫做被开方数．
特点：①都是形如 的式子，
②a都是非负数.
二次根式的概念
一般的，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．
1、下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
例题讲解
二次根式
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
归纳总结
2、当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
导引： 要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．
解：(1) 欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x
－5≠0，所以x≥3且 x≠5.
(2) 欲使 有意义，则必有x－2≥0且5
－x≥0，所以2≤x≤5.
3、 (1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
x ≥0且x≠2
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
6
6
20
20
有何发现？
合作探究
＝ ，
6.480
＝　 　；
（2）用计算器计算：
＝ ，
＝　 　 ．
6.480
0.9255
0.9255
有何发现？
（a≥0，b≥0）
，
（a≥0， b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商
积的算术平方根等于算术平方根的积
规律总结
二次根式的性质
例题讲解
（1） （2） （3）
解：(1)
(2)
(3)
化简
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
最简二次根式
最简二次根式必须满足：
(1)是二次根式
(2)被开方数不含分母，也就是被开方数是整数或整式；
(3)被开方数中不能含开的尽方的因数或因式.
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根
式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解： (1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数．
(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．
综上，只有(2)是最简二次根式.
例题讲解
化简：
解:
分母有理化
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
归纳总结
随堂演练
B
1．有下列各式：① ；② ； ③ ；④ ；
⑤ . 其中二次根式有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若二次根式 有意义，则x应满足(　　)
A．x≥3 B．x≥－3
C．x＞3 D．x＞－3
B
3．下列二次根式中是最简二次根式的为(　　)
A. B. C. D.
4.若a是正整数， 是最简二次根式，则a
最小为________．
B
3
5.化简
36
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：
解：
二次根式
定义
带有
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的性质
最简二次根式
（a≥0，b≥0）
课堂小结