2021-2022学年八年级数学北师大版上册7.5 三角形内角和定理的证明（第1课时）课件（18张PPT）

7.5 第1课时 三角形内角和定理的证明
情景导入
三角形家族的问题
不对！是我们钝角三角形的内角和最大！
我们锐角三角形的内角和度数最大！
你们别吵了！还是我们直角三角形的内角和最大！
问题1：你觉得他们谁说的对
问题2：你还记得吗？小学我们是怎样探索三角形内角和的？
你能给大家说说或者展示一下吗？
获取新知
测量法
锐角三角形
480
720
600
600＋480＋720＝1800
折拼法
剪拼法（撕拼法）
A
B
C
2
1
A
C
B
A
C
B
E
旋转平移
问题1：如图，当∠A移到∠1的位置时，残边CD和边AB有何位置关系？为什么？
问题2：在剪拼法中，通过移动角拼成了一个平角；如果不实际移动角,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?
A
C
B
E
D
A
C
B
1
2
3
E
规范作图
辅助线
辅助线通常画虚线
辅助线
思路总结
添加辅助线
三角形内角和
转化
平角/同旁内角
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠ACB=180°
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
你还能用其他的推理方法证明三角形内角和定理吗？
A
C
B
A
C
B
D
E
D
E
A
C
B
1
2
3
旋转平移
规范作图
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1 (两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2 (两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
例题讲解
例 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）
∵∠B=38°，∠C=62°（已知）
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°（角平分线的定义）
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证）
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）
随堂演练
1．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则下列对△ABC形状的判断正确的是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
2．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则较大
锐角的度数是________．
55°
B
3．已知：如图，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分线相交于点G.求证：EG⊥FG.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°.
∵ EG，FG分别平分∠BEF，∠EFD，
∴ ∠GEF＝ ∠BEF，∠EFG＝ ∠EFD.
∴ ∠GEF＋∠EFG＝ (∠BEF＋∠EFD)＝90°.
∴ ∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，
即EG⊥FG.
4.在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
课堂小结
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2.三角形内角和定理的证明思路：
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将三角形的三
个内角转化为一个平角. 如图1 ①② .
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化
为两平行线间的一组同旁内角. 如图2 ①② .
图1
图2