7.5 第2课时 三角形的外角
知识回顾
三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°.
获取新知
外角的定义:△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的外角.
D
(1)顶点在三角形的一个顶点上.
如:∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点;
(2)一条边是三角形的一边.
如:∠ACD的一条边AC是△ABC的一条边;
(3)另一条边是三角形某条边的延长线.
如:∠ACD的边CD是△ABC的BC的延长线.
D
你能画出△ABC的其他外角吗?
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点;
②角的一边是三角形的一边;
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角.
例题讲解
例1 如图,∠BEC是哪个三角形的外角?∠AEC是哪个三角形的外角?∠EFD是哪个三角形的外角?
F
A
B
C
D
E
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
获取新知
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图,△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系?
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题2 如图,△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A,∠B)有什么关系?
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∠BCD+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=∠BCD.
三角形的外角的性质1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
你能用作平行线的方法证明此结论吗?
D
证明:过C作CE平行于AB,
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B,(两直线平行,同位角相等)
∠2= ∠A ,(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知:如图,△ABC
求证:∠ACD=∠A+∠B.
三角形的外角的性质2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
作用:用来证明角的不等关系
例题讲解
例2 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC. 求证:AD//BC.
A
C
D
B
E
分析:要证明两直线平行,就是要从“同位角相等”、“内错角相等”或“同旁内角互补”中选择最合适的方法
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
∠B=∠C (已知),
∴ ∠DAC=∠C(等量代换).
∵AD平分∠EAC(已知),
∴ ∠C= ∠EAC(等式的性质).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
A
C
D
B
E
其他两个方法可行吗?
例3 已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC. 求证:∠BPC>∠A.
D
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角 (外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC
(三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角).
∴ ∠BPC >∠A.
证明:如图,延长BP,交AC于点D.
随堂演练
1、如图,射线AD,BE,CF构成∠1,∠2,∠3,则 ∠1+∠2+∠3等于( )
A.180° B.360°
C.540° D.无法确定
B
2、如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角,那么这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
A
3. 如图,已知点B,E,D,A在同一条直线上,则∠A,∠1,∠2的大小关系是( )
A. ∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A
C. ∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
B
4、如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一:连接AD并延长于点E.
在△ABD中,∠1+∠ABD=∠3,
在△ACD中,∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4,∠BAC=∠1+∠2,
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°+20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二:延长BD交AC于点E.
在△ABE中,∠1=∠ABE+∠BAE,
在△ECD中,∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).
)
2
F
5.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别是21°和32°,现测量得∠BDC=148°,你认为这个零件合格吗?为什么?
解:不合格.理由:如图,延长CD与AB相交于点F.
若此零件合格,则
∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°,∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°.
因为实际量得的∠BDC=148°,143°≠148°,
所以这个零件不合格.
课堂小结
三角形的外角的性质1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角的性质2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
课堂小结