2021-2022学年 北师大版八年级数学上册第七章 平行线的证明7.4 平行线的性质 课件（23张PPT）

7.4 平行线的性质
知识回顾
两直线平行

1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考
？
获取新知
证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
（1）你能作出相关的图形吗？
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
A
C
E
2
1
F
D
B
M
N
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
A
C
E
2
1
F
D
B
M
N
证明：
假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
本过程体现了反证法解决问题的应用
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
几何语言：
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
b
1
2
a
c
例题讲解
例1 如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，AB与CD平行，那么∠1+∠2 =180°吗？请说明理由.
导引：找出一对同位角，利用“两直线平行，同位角相等”证明。

解：∠1+∠2=180° 理由如下：
∵AB//CD（已知），
∴∠1= ∠3（两直线平行，同位角相等）.
∵∠2+∠3=180°（邻补角的定义），
∴∠1+∠2=180° （等量代换）.
证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
（1）你能作出相关的图形吗？
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？
已知：如图，直线 l1//l2，∠1和∠2是直线l1 ，l2 被直线l截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
∴∠1=∠2（等量代换）.
又∵∠2=∠3（对顶角相等），
证明：
∵l1∥l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
几何语言：
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
（两直线平行，内错角相等）
证明：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
3
a
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：
∵a∥b（已知）
∴∠1+∠2= 180°
（两直线平行，同旁内角互补）
例题讲解
例2 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.
求证：b∥c.
证明：
∵ b∥a（已知），
∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵ c∥a（已知），
∴ ∠2=∠3（等量代换）.
∴ ∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）.
获取新知
定理：如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.
简述为：平行于同一条直线的两条直线平行.
几何语言：
∵a∥b， a∥c （已知）
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）
随堂演练
1、如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
C
2．如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，
下列关系中成立的是(　　)
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180°
D．∠3＋∠5＝180°
D
3．如图，已知AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE＝40°，
则∠EFG的度数为(　　)
A．35° B．40°
C．70° D．140°
C
3.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从∠1=110o可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110o可以知道∠3是多少度,为什么？
(3)从∠1=110o可以知道∠4 是多少度,为什么？
解：(1)∠2=110o
∵两直线平行，内错角相等；
（2）∠3=110o
∵两直线平行, 同位角相等；
（3）∠4=70o
∵两直线平行,同旁内角互补.
2
3
E
1
4
A
B
D
C
4、如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C，AE是∠DAC的平分线吗？
若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.
解： AE是∠DAC 的平分线．
证明如下：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠CAE＝∠C(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠B＝∠C(已知)，
∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)，
∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）．
5. 如图，在?ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
解：∵CE⊥AB， DF⊥AB
∴DF//EC
∴ ∠BDF=∠1，
∠EDF=∠3
∵ ED//AC，
∴ ∠3=∠2
∴ ∠EDF=∠2
又∵ CE平分∠ACB
∴ ∠1=∠2
∴ ∠BDF=∠EDF.
6．如图，已知CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，则直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？
解：EF∥AB.理由如下：
因为CD∥AB，∠DCB＝70°，
所以∠DCB＝∠ABC＝70°.
因为∠CBF＝20°，
所以∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝50°.
因为∠EFB＝130°，
所以∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°.
所以EF∥AB.
课堂小结
公理:
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
性质定理3:
平行于第三条直线的两直线平行.
∵ a∥b,b//c ∴a//c.
a
b
c
d
平行线的判定
平行线的性质
________相等，两直线平行
两直线平行，同位角________
________相等，两直线平行
两直线平行，内错角________
____________，两直线平行
两直线平行，同旁内角______
同位角
相等
内错角
相等
同旁内角互补
互补
角的数量关系
线的位置关系
角的数量关系
线的位置关系