2021-2022学年北师大版八年级数学上册第四章 一次函数4.2一次函数与正比例函数 课件 （18张PPT）

4.2 一次函数与正比例函数
在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
知识回顾
什么叫函数?
情景导入
(2)你能写出y与x之间的关系吗？
y=3+0.5x
某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出y与x的关系吗?
y=60－0.12x
上面的两个函数关系式:
(1)y=3+0.5x
(2) y=60－0.12x
它们的结构特征有什么特点？

1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次.
3．自变量x的系数都不为０.
获取新知
一次函数的定义
若两个变量x， y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k=0) 形式，则称y是 x的一次函数（x为自变量， y为因变量）。
特别地，当b=0时，称 y 是x的正比例函数。
正比例函数也是一次函数，它是一次函数的一个特例。
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
例题讲解
例1
已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
例2
解：(1) 因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0，
所以 m＝±5且m≠5，所以 m＝－5.
所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．
解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以 m＝±5且 m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
例3 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
例题讲解
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于5000元的部分不收税；月收入超过5000元但低于8000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入6860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（6860-5000）×3%=55.8元.
(1)当月收入大于5000元而又小于8000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-5000) (5000(2)某人月收入为7160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=7160时，y=0.03×(7160-5000)=64.8（元）.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-5000),
x=5640.
答:此人本月工资是5640元.
例4
课堂小结
随堂演练
1.下列说法中不正确的是(　　)
A．一次函数不一定是正比例函数
B．不是一次函数就一定不是正比例函数
C．正比例函数是特殊的一次函数
D．不是正比例函数就一定不是一次函数
D
2.下列函数中，是一次函数的是(　　)
A．y＝3x2 B．y＝x＋1
C．y＝ D．y＝ax
3．对于函数y＝(k－3)x＋k＋3，当k＝________时，y是x
的正比例函数；当k≠________时，y是x的一次函数．
B
-3
3
4.某天通过高速公路收费站的汽车中，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴费20元，小车每辆次缴费10元．设这一天小车缴通行费的辆次为x，总的通行费收入为y元．
试写出y关于x的函数关系式，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
解：y＝10x＋20(3000－x)＝－10x＋60000，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数．