浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一下学期数学返校考考试试卷

浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一下学期数学返校考考试试卷
一、单选题
1．（2021高一下·浙江开学考）若集合 ，集合 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一下·浙江开学考）命题“ ， ”的否定是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2021高一下·浙江开学考）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，那么 , sinθ+ 2cosθ =（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·浙江开学考）函数 f（x）= 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 ，则函数 的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减.记 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高一下·浙江开学考）记 ，设 ，则 成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． 或 D．
8．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 ， ，则关于 的方程 在区间 上的所有实根之和为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
二、多选题
9．（2021高一下·浙江开学考）已知实数 ， ， 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021高一下·浙江开学考）下列选项中，与 的值相等的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 的图象关于直线 对称，则（　　）
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数的图象关于 对称，则 的最小值是
D．若方程 在 上有2个不同实根 ， ，则 的最大值为
12．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 ，若关于x的方程 有3个不同的实数根，则a的值可能为（　　）
A．-1 B． C． D．1
三、填空题
13．（2021高一下·浙江开学考）　 　.
14．（2020高一上·天津期末）已知扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则该扇形的弧长为　 　.
15．（2021高一下·浙江开学考）衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间 （天数）和剩余的体积 的关系式为 （其中常数 ， 是1颗新丸的体积），1颗新丸放置30天后，剩余的体积变为原来的 ，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少　 　颗樟脑丸.
16．（2021高一下·浙江开学考）若正实数 、 、 ，满足 ， ，则 的最小值为　 　.
四、解答题
17．（2021高一下·浙江开学考）已知集合 ，集合
（1）求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18．（2021高一下·浙江开学考）函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 ， ，求 的值.
19．（2021高一下·浙江开学考）新冠肆虐期间，某卫生防疫部门每天都需要对辖区的公共区域进行消毒作业.已知该部门每天需要消毒液200千克，价格为7.2元/千克，每次购买消毒液需支付运费300元，如果该部门 天购买一次消毒液，每次购买来的消毒液还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量是多少，均按100元/天支付，超过7天部分的，一次性追加额外保管费用 元.
（1）写出该部门在这 天中用于消毒作业的总费用 （元）关于 的函数关系式；
（2）求出该部门多少天购买一次消毒液才能使平均每天支付的费用 最少？
20．（2021高一下·浙江开学考）如图，已知四边形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于 的函数记为 .
（1）求 的表达式及 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 为偶函数.
（1）求 的值；
（2）若存在实数 ， ， ，使得 ，求 的取值范围.
22．（2021高一下·浙江开学考）已知函数
（1）若函数 在 单调递增，求 的取值范围；
（2）若对于任意 恒有 成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】先求解集合A,再利用交集定义求解 。
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题得：“ ， ”的否定是“ ， ”，
故答案为：B.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题得解答案。
3．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由三角函数的定义得 ，所以 ，
所以 sinθ+ 2cosθ = .
故答案为：C.
【分析】先利用三角函数的定义求解r，然后计算，进而求解答案 。
4．【答案】D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意，函数 f（x）= ，可函数 为定义域上的单调递减函数，
又由 ，即 ，
根据零点的存在性定理，可得函数 的零点所在的区间是 .
故答案为：D.
【分析】函数 为定义域上的单调递减函数，又由 ，即 ，进而确定零点所在区间。
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】由题意，函数 有意义，满足 ，解得 ，
所以函数 的定义域关于原点对称，
又由 ，所以函数 为奇函数，排除B、D，
当 时， ，可排除A.
故答案为：C.
【分析】根据题意确定函数的对称性和奇偶性排除B、D，利用特殊值法 排除A。
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用对数函数的单调性比较对数值的大小
【解析】【解答】函数 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，
所以 ，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以记 .
故答案为：A.
【分析】由已知可得函数 在 上单调递增，进而确定 的范围及 的大小关系，再利用单调性比较函数值的大小。
7．【答案】A
【知识点】充分条件；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解，
综上可得 的解为 或 ，
所以 成立的一个充分不必要条件是 ，
故答案为：A.
【分析】利用做差法，讨论x的范围得到，分 ， ， 讨论令 成立的条件 ，综合分析可得答案。
8．【答案】B
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】当 时， ，而 ，
故 ，故 ，
当 时， ，而 ，
故 ，故 ，
故 在 上的图象关于 对称，
当 且 时， ，
而 且 ，故 ，故此时 与 的图象无交点.
下面仅考虑 上 与 的图象，如图所示；
因为 ， ， ，
故在 上 与 的图象共有4个不同的交点，
故在区间 上的所有实根之和为 ，
故答案为：B.
【分析】由已知条件分析可得 在 上的图象关于 对称，并作出草图，当 且 时，与 的图象无交点.在 上， ， ， ，所以 与 的图象共有4个不同的交点，故在区间 上的所有实根之和为 。
9．【答案】A,B,C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为实数 ， ， 满足 ，且 ，
所以 ，
由 ，得 ，A符合题意；
由 ，得 ，B符合题意；
由 ，得 ，C符合题意；
由 ，得 ，当 时，等号成立，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】利用不等式的基本性质逐一分析选项即可。
10．【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 .
对于A选项， ；
对于B选项， ；
对于C选项， ；
对于D选项， ，化简可得 .
故答案为：BC.
【分析】先计算 的值，然后利用三角恒等变换依次计算A,B,C,D的值进行比较即可。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据条件可得 ，所以
则 ，由 ，所以
所以
A. 为奇函数，A符合题意.
B. 由
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，B不正确.
C. 函数 的图象向右平移 个单位长度得到，
根据条件可得当 时，
所以 ，则
由 ，则当 时， 有的最小值是 ，C符合题意.
D. 作出 的图象，如图
当 时，由 ，可得
由 ，当 时，由 ，可得
当 时，方程 在 上有2个不同实根 ， ，则
设 ，则 ，
如图当 时， ， 分别为 ， 时， 最大，最大值为 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 由图象关于直线 对称，分析可得，所以 ，A符合题意。根据正弦函数的单调性以及单调区间分析得B不正确；利用函数的平移及对称性分析可得 的最小值是 ，C符合题意； 由已知分析计算可得，故 ，设 ，则 ， ，如图分析，当 时， ， 分别为 ， 时， 最大，D符合题意.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】若 ，当 时， 恒成立；
当 时，由 得 或 （舍）；
即 仅有 一个根；
所以由 可得 ，则 ；
即方程 仅有一个实根；
故不满足 有3个不同的实根；
若 时, 画出 的大致图象如下，
由 可得 ， ，
又 有3个不同的实根，由 ，则
由图象可得， 有一个实数根，则 有两个实数根，
则 或
解得： 或
综上可知， 或
所以BCD均满足
故答案为：BCD
【分析】先讨论 ，结合函数解析式，分析可得不满足题意；再讨论，画出的图像，利用数形结合的方法确定a的取值范围。
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由指数幂与对数的运算性质，可得：
.
故答案为： .
【分析】利用指数幂与对数的运算性质计算即可。
14．【答案】2π
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由于扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，
则扇形的面积 ，解得： ，
此扇形所含的弧长 ，
故答案为：2π。
【分析】六已知条件结合 扇形的面积 公式，从而求出圆的半径，再利用弧长公式求出扇形的弧长。
15．【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；函数的应用
【解析】【解答】由樟脑丸放置的时间 （天数）和剩余的体积 的关系式为 ，
┄①，
设120天后1颗新丸剩余的体积为原来的 ，
则 ┄②，
由①②联立可得： ，
所以 ，
可得 ，所以至少需要4，
故答案为：4.
【分析】根据所给的关系式，先有30天后剩余的体积变为原来的 ，得到关系式①，然后设120天后1 颗新丸剩余的体积为原来的 ，得到关系式②，由①②求出的范围，即可得到答案案。
16．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】已知实数 、 、 均为正实数，且 ， ，可得 ，
，所以， ，
，
，可得 ，令 ，则 ，
所以， .
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】由已知可用x,y表示z，然后代入所求式子后结合基本不等式求解即可。
17．【答案】（1）由 ，则 ，所以
集合 ，
故 或
（2）当 时，则 ，得
当 时，则 或
解得 或
综上所述：
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）先利用对数不等式的解法求出集合A，再由补集的定义求解即可；
（2）分 和两种情况，结合空集的定义求解即可。
18．【答案】（1）根据给定的函数 的图象，可得 ，可得最小正周期为
由 ，可得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
则
.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；余弦函数的单调性；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由图像可得最小正周期，进而求得 ， 由 ，求得 ，从而得到 解析式，利用余弦函数的性质可求单调递增区间。
（2）由 的取值范围及同角三角函数的基本关系可得 ，再利用诱导公式和两角差的正弦公式计算即可。
19．【答案】（1）由题意得：当 时， ，
当 时， ，
，
综上所述： .
（2）当 时， ，
所以 时， ，
当 时， ，
等号成立条件： ，
∴ （元）.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用；函数的应用
【解析】【分析】（1）分 ， 两段分别求解y与x的关系，即可得到答案。
（2）分 ， 两段，分别利用反比例函数以及基本不等式求解y的最值即可。
20．【答案】（1）设 ， ，
则 ， ， ，
， ，
即 ；
又 ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
解得 ，∴ ， ；
（2）当 时， ，
∴ 等价于
由 ，得
∴实数 的取值范围是 .
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由解三角形的知识可知 ， 由 ，利用三角恒等变换即可求得的取值范围 ；
（2）由的范围可求出 的范围，从而将不等式转化为 ，利用函数的单调性即可求得 的取值范围，从而求得m的取值范围。
21．【答案】（1）由 得 ，
即 ，得 ；
（2） ，
当 时，令 ，
则 ，
即 ， ， ，得 ，
存在实数 ， ， ，使得 ，
即 ，
若 ，则 或 ，
得 或 ，
故 时有 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义可得 ，
（2） ，令 ，变量替换后利用基本不等式求解f(x)的值域， 进而得的值域，令值域的交集非空，可解得b的取值范围，即可得答案。
22．【答案】（1）由题意，函数 ，
①当 时，当 ，可得 在 单调递增成立；
②当 时，当 且 时，解得 ，
可得 在 单调递增，
综上可得，实数 的取值范围为 .
（2）对于任意 恒有 ，即 ，
①由（1）知 时，函数 在 上单调递增，
又由 ， ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ；
②当 时，可得 ，
则 ， ，
当 时，由 ，即 成立；
当 时，由 ，即 ，解得 成立，
所以 成立
③当 时，可得 ， ，
由 ，可得 成立；
④当 时，可得 ，所以 ， ，
由 ，解得 不符合，
综上可得，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）去绝对值符号， 讨论 ，时，结合二次函数的对称轴可得f（x）的单调性，可得所求范围。
（2）由题意可得 ， 讨论a的范围，结合对称轴和f（x）的单调性，分别求得最值，解不等式可得所求范围。
1 / 1浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一下学期数学返校考考试试卷
一、单选题
1．（2021高一下·浙江开学考）若集合 ，集合 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】先求解集合A,再利用交集定义求解 。
2．（2021高一下·浙江开学考）命题“ ， ”的否定是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题得：“ ， ”的否定是“ ， ”，
故答案为：B.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题得解答案。
3．（2021高一下·浙江开学考）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，那么 , sinθ+ 2cosθ =（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由三角函数的定义得 ，所以 ，
所以 sinθ+ 2cosθ = .
故答案为：C.
【分析】先利用三角函数的定义求解r，然后计算，进而求解答案 。
4．（2021高一下·浙江开学考）函数 f（x）= 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意，函数 f（x）= ，可函数 为定义域上的单调递减函数，
又由 ，即 ，
根据零点的存在性定理，可得函数 的零点所在的区间是 .
故答案为：D.
【分析】函数 为定义域上的单调递减函数，又由 ，即 ，进而确定零点所在区间。
5．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 ，则函数 的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】由题意，函数 有意义，满足 ，解得 ，
所以函数 的定义域关于原点对称，
又由 ，所以函数 为奇函数，排除B、D，
当 时， ，可排除A.
故答案为：C.
【分析】根据题意确定函数的对称性和奇偶性排除B、D，利用特殊值法 排除A。
6．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减.记 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用对数函数的单调性比较对数值的大小
【解析】【解答】函数 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，
所以 ，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以记 .
故答案为：A.
【分析】由已知可得函数 在 上单调递增，进而确定 的范围及 的大小关系，再利用单调性比较函数值的大小。
7．（2021高一下·浙江开学考）记 ，设 ，则 成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． 或 D．
【答案】A
【知识点】充分条件；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解，
综上可得 的解为 或 ，
所以 成立的一个充分不必要条件是 ，
故答案为：A.
【分析】利用做差法，讨论x的范围得到，分 ， ， 讨论令 成立的条件 ，综合分析可得答案。
8．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 ， ，则关于 的方程 在区间 上的所有实根之和为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
【答案】B
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】当 时， ，而 ，
故 ，故 ，
当 时， ，而 ，
故 ，故 ，
故 在 上的图象关于 对称，
当 且 时， ，
而 且 ，故 ，故此时 与 的图象无交点.
下面仅考虑 上 与 的图象，如图所示；
因为 ， ， ，
故在 上 与 的图象共有4个不同的交点，
故在区间 上的所有实根之和为 ，
故答案为：B.
【分析】由已知条件分析可得 在 上的图象关于 对称，并作出草图，当 且 时，与 的图象无交点.在 上， ， ， ，所以 与 的图象共有4个不同的交点，故在区间 上的所有实根之和为 。
二、多选题
9．（2021高一下·浙江开学考）已知实数 ， ， 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为实数 ， ， 满足 ，且 ，
所以 ，
由 ，得 ，A符合题意；
由 ，得 ，B符合题意；
由 ，得 ，C符合题意；
由 ，得 ，当 时，等号成立，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】利用不等式的基本性质逐一分析选项即可。
10．（2021高一下·浙江开学考）下列选项中，与 的值相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 .
对于A选项， ；
对于B选项， ；
对于C选项， ；
对于D选项， ，化简可得 .
故答案为：BC.
【分析】先计算 的值，然后利用三角恒等变换依次计算A,B,C,D的值进行比较即可。
11．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 的图象关于直线 对称，则（　　）
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数的图象关于 对称，则 的最小值是
D．若方程 在 上有2个不同实根 ， ，则 的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据条件可得 ，所以
则 ，由 ，所以
所以
A. 为奇函数，A符合题意.
B. 由
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，B不正确.
C. 函数 的图象向右平移 个单位长度得到，
根据条件可得当 时，
所以 ，则
由 ，则当 时， 有的最小值是 ，C符合题意.
D. 作出 的图象，如图
当 时，由 ，可得
由 ，当 时，由 ，可得
当 时，方程 在 上有2个不同实根 ， ，则
设 ，则 ，
如图当 时， ， 分别为 ， 时， 最大，最大值为 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 由图象关于直线 对称，分析可得，所以 ，A符合题意。根据正弦函数的单调性以及单调区间分析得B不正确；利用函数的平移及对称性分析可得 的最小值是 ，C符合题意； 由已知分析计算可得，故 ，设 ，则 ， ，如图分析，当 时， ， 分别为 ， 时， 最大，D符合题意.
12．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 ，若关于x的方程 有3个不同的实数根，则a的值可能为（　　）
A．-1 B． C． D．1
【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】若 ，当 时， 恒成立；
当 时，由 得 或 （舍）；
即 仅有 一个根；
所以由 可得 ，则 ；
即方程 仅有一个实根；
故不满足 有3个不同的实根；
若 时, 画出 的大致图象如下，
由 可得 ， ，
又 有3个不同的实根，由 ，则
由图象可得， 有一个实数根，则 有两个实数根，
则 或
解得： 或
综上可知， 或
所以BCD均满足
故答案为：BCD
【分析】先讨论 ，结合函数解析式，分析可得不满足题意；再讨论，画出的图像，利用数形结合的方法确定a的取值范围。
三、填空题
13．（2021高一下·浙江开学考）　 　.
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由指数幂与对数的运算性质，可得：
.
故答案为： .
【分析】利用指数幂与对数的运算性质计算即可。
14．（2020高一上·天津期末）已知扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则该扇形的弧长为　 　.
【答案】2π
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由于扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，
则扇形的面积 ，解得： ，
此扇形所含的弧长 ，
故答案为：2π。
【分析】六已知条件结合 扇形的面积 公式，从而求出圆的半径，再利用弧长公式求出扇形的弧长。
15．（2021高一下·浙江开学考）衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间 （天数）和剩余的体积 的关系式为 （其中常数 ， 是1颗新丸的体积），1颗新丸放置30天后，剩余的体积变为原来的 ，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少　 　颗樟脑丸.
【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；函数的应用
【解析】【解答】由樟脑丸放置的时间 （天数）和剩余的体积 的关系式为 ，
┄①，
设120天后1颗新丸剩余的体积为原来的 ，
则 ┄②，
由①②联立可得： ，
所以 ，
可得 ，所以至少需要4，
故答案为：4.
【分析】根据所给的关系式，先有30天后剩余的体积变为原来的 ，得到关系式①，然后设120天后1 颗新丸剩余的体积为原来的 ，得到关系式②，由①②求出的范围，即可得到答案案。
16．（2021高一下·浙江开学考）若正实数 、 、 ，满足 ， ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】已知实数 、 、 均为正实数，且 ， ，可得 ，
，所以， ，
，
，可得 ，令 ，则 ，
所以， .
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】由已知可用x,y表示z，然后代入所求式子后结合基本不等式求解即可。
四、解答题
17．（2021高一下·浙江开学考）已知集合 ，集合
（1）求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）由 ，则 ，所以
集合 ，
故 或
（2）当 时，则 ，得
当 时，则 或
解得 或
综上所述：
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）先利用对数不等式的解法求出集合A，再由补集的定义求解即可；
（2）分 和两种情况，结合空集的定义求解即可。
18．（2021高一下·浙江开学考）函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）根据给定的函数 的图象，可得 ，可得最小正周期为
由 ，可得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
则
.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；余弦函数的单调性；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由图像可得最小正周期，进而求得 ， 由 ，求得 ，从而得到 解析式，利用余弦函数的性质可求单调递增区间。
（2）由 的取值范围及同角三角函数的基本关系可得 ，再利用诱导公式和两角差的正弦公式计算即可。
19．（2021高一下·浙江开学考）新冠肆虐期间，某卫生防疫部门每天都需要对辖区的公共区域进行消毒作业.已知该部门每天需要消毒液200千克，价格为7.2元/千克，每次购买消毒液需支付运费300元，如果该部门 天购买一次消毒液，每次购买来的消毒液还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量是多少，均按100元/天支付，超过7天部分的，一次性追加额外保管费用 元.
（1）写出该部门在这 天中用于消毒作业的总费用 （元）关于 的函数关系式；
（2）求出该部门多少天购买一次消毒液才能使平均每天支付的费用 最少？
【答案】（1）由题意得：当 时， ，
当 时， ，
，
综上所述： .
（2）当 时， ，
所以 时， ，
当 时， ，
等号成立条件： ，
∴ （元）.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用；函数的应用
【解析】【分析】（1）分 ， 两段分别求解y与x的关系，即可得到答案。
（2）分 ， 两段，分别利用反比例函数以及基本不等式求解y的最值即可。
20．（2021高一下·浙江开学考）如图，已知四边形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于 的函数记为 .
（1）求 的表达式及 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）设 ， ，
则 ， ， ，
， ，
即 ；
又 ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
解得 ，∴ ， ；
（2）当 时， ，
∴ 等价于
由 ，得
∴实数 的取值范围是 .
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由解三角形的知识可知 ， 由 ，利用三角恒等变换即可求得的取值范围 ；
（2）由的范围可求出 的范围，从而将不等式转化为 ，利用函数的单调性即可求得 的取值范围，从而求得m的取值范围。
21．（2021高一下·浙江开学考）已知函数 为偶函数.
（1）求 的值；
（2）若存在实数 ， ， ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】（1）由 得 ，
即 ，得 ；
（2） ，
当 时，令 ，
则 ，
即 ， ， ，得 ，
存在实数 ， ， ，使得 ，
即 ，
若 ，则 或 ，
得 或 ，
故 时有 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义可得 ，
（2） ，令 ，变量替换后利用基本不等式求解f(x)的值域， 进而得的值域，令值域的交集非空，可解得b的取值范围，即可得答案。
22．（2021高一下·浙江开学考）已知函数
（1）若函数 在 单调递增，求 的取值范围；
（2）若对于任意 恒有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）由题意，函数 ，
①当 时，当 ，可得 在 单调递增成立；
②当 时，当 且 时，解得 ，
可得 在 单调递增，
综上可得，实数 的取值范围为 .
（2）对于任意 恒有 ，即 ，
①由（1）知 时，函数 在 上单调递增，
又由 ， ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ；
②当 时，可得 ，
则 ， ，
当 时，由 ，即 成立；
当 时，由 ，即 ，解得 成立，
所以 成立
③当 时，可得 ， ，
由 ，可得 成立；
④当 时，可得 ，所以 ， ，
由 ，解得 不符合，
综上可得，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）去绝对值符号， 讨论 ，时，结合二次函数的对称轴可得f（x）的单调性，可得所求范围。
（2）由题意可得 ， 讨论a的范围，结合对称轴和f（x）的单调性，分别求得最值，解不等式可得所求范围。
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