2021-2022学年九年级数学人教版上册 第二十一章 一元二次方程 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 （Word版 含解析）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．对于一元二次方程，下列说法正确的是（
）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根，；且
C．这个方程有两个不相等的实数根，；且
D．这个方程没有实数根
2．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（
）
A．－2
B．2
C．－1
D．1
4．若m、n为一元二次方程的两个实数根，则的值为（
）
A．0
B．2
C．3
D．
5．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（
）
A．8
B．16
C．
32
D．16或40
7．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为（
）
A．32
B．36
C．32或36
D．不存在
8．已知关于x的方程的两个根互为相反数，则a的值是（
）
A．5
B．-3
C．5或-3
D．1
9．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（　　）
A．或3
B．﹣3
C．
D．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；其中正确的（
）
A．只有①②
B．只有①②④
C．①②③④
D．只有①②③
二、填空题
11．设x1、x2是方程的两个实数根，则x1+x2=_____；x1·x2=_____.
12．已知m2-2m-1=0，n2-2n-1=0且mn，则的值为____．
13．若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________．
14．已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为______．
15．写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为3、﹣2．所写的一元二次方程为_____．
三、解答题
16．不解方程，判断下列方程的根的个数：
①；
②；
③；
④．
17．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
19．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
20．已知关于x的方程x2（2a+2）xa220的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）a取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求a的值；
（3）当a为何值时，矩形变为正方形？
参考答案
1．B
解：对于一元二次方程，
△=，
则方程有两个不相等的
实数根，，
利用根与系数关系，
A．这个方程有两个相等的实数根不正确；
B．这个方程有两个不相等的实数根，；且正确；
C.
这个方程有两个不相等的实数根，；且前句对，两根和不对，则C不正确；
D.
这个方程没有实数根不正确；
故选择：B．
2．B
解：设方程的另一个根为x1，
则-1+x1=-=-3
∴x1=-2
故选B．
3．D
解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
整理得出：，
解得：，
故选：D．
4．D
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴m＋n＝2，mn＝-2，，
∴＝mn?（m＋n）＝-2-2＝-4，
故选：D．
5．D
解：∵关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，
∴，解得：，
∴由韦达定理可得：，
∴只有D选项正确；
故选D．
6．C
解：一元二次方程
或
当时，
原一元二次方程为
，
，
当时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
故选：C．
7．B
解：分为两种情况：
①当腰长是4时，设底边为a，
依题意得：a+4=12，
解得：a=8，
即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；
②底边为4，设腰长为b，
依题意得：b+b=12，
∴腰长为b=6，
即三边为4，6，6，
∴m=6×6=36；
故选：B．
8．B
解：∵关于x的方程的两个根互为相反数，
∴，
即：，
解得：或，
∵关于的方程为，
∴，即，
解得：，
∴不合题意舍去，
故，
故选：B．
9．C
解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝﹣3，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
故选：C．
10．B
解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝
∴
故④正确．
故选：B．
11．2
-2
解：根据根和系数的关系可得，，
12．-6
解：根据题意得，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
故答案为：-6．
13．
解：设另一个根为，根据根与系数的关系有：
即
解得：
故答案为
14．-1，0，1
解：当时，方程为，此时解为，符合题意；
当时，，
∴，，
∵和k均为整数，
∴或1，
综上所述，k的值为-1，0，1，
故答案为：-1，0，1．
15．x2﹣x﹣6＝0
解：∵二次项系数为1，
∴设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵两根分别为3和﹣2．
∴p＝﹣（3﹣2）＝﹣1，q＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴这个方程为：x2﹣x﹣6＝0．
故答案为：x2﹣x﹣6＝0．
16．①四个；②没有实数根；③没有实数根；④两个实数根
解：令
①可化为：，
，，
∴原方程有四个实数根．
②可化为：，
，，,
则与同号，，且，与不符，
∴原方程没有实数根．
③可化为：，
∴原方程没有实数根．
④可化为：，
，，
则与异号，即，或，，
∴原方程有两个实数根．
17．（1）见解析；（2）6或0
解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x=2m±3，
∵x1=3?x2，
∴x1+x2=6，
∵x1+x2=4m，
∴4m=6，
∴m=，
∴x=2×±3，
∴x1=6，x2=0．
18．（1）且；（2）2
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
（2），是一元二次方程的实数根，
，．
，即，
，
解得：，．
又且，
．
19．（1）；（2）-1．
解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n，
∴．
（1）当时，
，
解得，
经检验，是方程的根，
∴；
（2）当时，
．
∴．
20．（1）；（2）1；（3）
解：（1）?[-
(2a+2)]241（
a2+2）8a4，
∵方程有两个实数根，
∴?≥0
即
8a4≥0，
解得：a≥；
（2）设方程的两个根为x1、x2，则x1x22a2，
x1x2a22，
∵
矩形的对角线长为，
∴
x12x2210，
即x12x22(x1x2)22x1x2(2a2)22(a22)10，
整理得：2a28a100，
解得：a11，a25(舍去)
，
因此，当矩形的对角线长为时，a的值是1．
（3）当矩形变为正方形时，方程有两个相等的实数根，
∴?8a40，
解得：a=．