2012年高一数学新课程教学课件：2.3函数的单调性（北师大版必修1）

(共21张PPT)
§3 函数的单调性
1.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思.
2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间.
3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.
建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质——函数的单调性．
引入新课
画出下列函数的图像，观察其变化规律：
1、从左至右图像上升还是下降 ____
2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ．
f(x) = x
(-∞,+∞)
增大
上升
1.在区间______上，f(x)的值随着x的增大而______．
2.在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____.
f(x) = x2
(-∞,0]
(0,+∞)
增大
减小
画出下列函数的图像，观察其变化规律：
-2
1
2
3
4
5
-2
3
-3
-4
-5
-1
-1
1
2
如图，你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗？
怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x11．增函数
2．减函数
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的．
3.单调区间，单调性，单调函数
如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的，那么称A为单调区间.
如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.
1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
注意：
2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2)，分别是增函数和减函数.
例1 说出函数 的单调区间，并指明在该区间上的单调性.
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在
这两个区间上函数 是减小的.
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
练习：证明：函数 在(0，+∞)上是减函数。
f(x1)- f(x2)=
由于x1,x2 ,得x1x2>0,又由
x10,
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
例2 证明函数 在R上是增函数.
证明：设 是R上的任意两个实数,且 则:
在R上是增函数.
1.任取x1，x2∈A，且x12.作差f(x1)－f(x2)；
3.变形（通常是因式分解和配方）；
4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
注意：
函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化．因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点.
1. 如图,已知y=f(x) 的图像(包括端点),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.
1
2
-2
-1
-1
1
o
[-2,-1],[0,1]上是减函数;[-1,1],[1,2]上是增函数.
2.函数y=│x-2│的单调减区间是___________.
（-∞，2）
（1，+∞）
3.函数 的单调增区间是_________.
证明：根据单调性的定义，设
是定义域
上的任意两个实数，且
4.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之.
即
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：
⑴设 是给定区间内的任意两个值，且
⑵作差 并将此差变形(要注意变形的程度).
⑶判断 的正负（说理要充分）.
⑷根据 的符号确定其增减性.