22.2二次函数与一元二次方程 同步练习 2021-2022学年九年级数学人教版上册（Word版含解析）

22.2二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．且
D．且
2．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个
3．如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若、（）是关于的一元二次方程的两个根，、（）是关于的方程的两根，则、、、的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．关于的一元二次方程没有实数根，抛物线的顶点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．对于一个函数自变量取时，函数值为0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根和，则下列式子一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
二、填空题
11．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件______．
12．已知抛物线与x轴一个交点的坐标为，则一元二次方程的根为____________．
13．如图是二次函数的部分图象，由图可知方程的所有解的积等于______．
14．已知，，满足，，则二次函数的图象的对称轴为_______．
15．已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
三、解答题
16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　
　；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　
　．
17．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点B的坐标为
；
（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为
；
（3）方程ax2+bx+c=0的两个根为
；
（4）不等式ax2+bx+c＜0的解集为
.
18．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
19．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．
（1）求证：无论m取何值时，抛物线都与x轴有两个交点．
（2）m为何值时，抛物线都与x轴有两个交点间的距离等于3？
参考答案
1．B
解：是二次函数
则
令y=0，即
解得：
故选B
2．C
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
3．A
解：∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是，
∴．
∵方程在的范围内有解，
∴抛物线与直线y=t在范围内有公共点，如图所示．
故选：A
4．A
解：依题意，画出函数y＝（x?a）（x?b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），即：、（）是关于的一元二次方程的两个根，
方程1?（x?a）（x?b）＝0
转化为（x?a）（x?b）＝1，
方程的两根是抛物线y＝（x?a）（x?b）与直线y＝1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选A．
5．D
解：∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c=
-1,4a-2b+c＞1，
∴a-b=
-2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
6．B
解：∵抛物线的对称轴，
∴可知抛物线的顶点在y轴左侧，
又∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴开口向上的与x轴没有交点，
∴抛物线的顶点在第二象限．
故选：B．
7．D
解：关于的方程有两个不相等的非零实数根和，
就是关于x的二次函数与直线y＝?2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴3＜x4＜x2，
由图象可知：一定成立，
故选：D．
8．C
解：∵抛物线经过，
∴将代入可得，
∵对称轴直线，
∴，解得，
∴抛物线为，
∴，
∵关于的方程在的范围有实数根，
∴，解得，
且同时满足当，以及当，解得（舍去），
或者当，以及当，解得，
综上可得的范围为：．
故选：C．
9．D
解:把函数变形，由m为任意数
∴，
解得，
抛物线过定点，
①此抛物线过定点正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，
解得且，
∵抛物线开口向下，
∴，
解得，
又∵且，
∴；
②若抛物线开口向下，则m的取值范围是正确，
若时，，抛物线开口向上，
抛物线与x轴有两个交点，
，
∴当x=-2,，y，当x=-1，y，
即，
解得，
，
∴当x=1,，y，当x=2，y，
即，
解得，
∴有，，则m的取值范围是．
③若时，有，，则m的取值范围是正确，
所以正确结论的个数有3个．
故选择D．
10．C
解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，
令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），
∴y1与y2有两个交点．
∴2﹣m＜2．
∴m＞0．
∵m是整数，
∴m＝1．
故选：C．
11．1或0
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴只有一个公共点时，
（﹣2）2﹣4×1×b＝0，得b＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则b＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；
由上可得，b的值是1或0，
故答案是：1或0．
12．
解：将x＝?1，y＝0代入得：a＋2a＋c＝0．
解得：c＝?3a．
将c＝?3a代入方程得：ax2?2ax?3a＝0．
∴a（x2?2x?3）＝0．
∴a（x＋1）（x?3）＝0．
∴x1＝?1，x2＝3．
故答案为：x1＝?1，x2＝3．
13．-5．
解：由图象可知对称轴为，
与x轴的一个交点横坐标为5，
它到直线的距离是3个单位长度，
所以另一个交点横坐标为-1，
∴，
，
．
故答案为：-5．
14．直线
解：已知函数解析式：，
∵，
令x=1得，，
令x=-2得，，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（-2，0），
∴抛物线对称轴．
故答案为:
．
15．4或-2
解：∵二次函数的图像经过点与，
∴ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，
∵方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵方程ax2+bx+c+n=0?（0＜n＜m）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，
∴方程ax2+bx+c+n=0?（0＜n＜m）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，
∴关于的方程的两个整数根是4或-2，
故答案为：
4或-2．
16．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即有两个实数根，
∴，即，
解得m≥﹣4．
17．（1）（3，0）；（2）x＞1；（3）x1=-1，x2=3；（4）x＜-1或x＞3.
解：（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，
∵A（-1，0）
∴B点坐标为：（3，0）
故答案为：（3，0）；
（2）由图象可得：y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1；
故答案为：x＞1；
（3）∵方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=-1，x2=3；
故答案为：x1=-1，x2=3；
（4）由图象可得：不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜-1或x＞3；
故答案为：x＜-1或x＞3．
18．（1），；（2）或；（3）
解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
19．（1）证明见解析；（2）0或2
解：（1）证明：∵△＝＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：当y=0时，x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，
则x=，
∴，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（，0），
∵抛物线与x轴的两个交点的距离等于3，
∴，
解得m=0或m=2，
经检验，m=0或m=2均为所列方程的根且符合题意，
即m为0或2时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3．