2012年高一数学新课程教学课件：4.2《实际问题的函数建模》（北师大版必修1）

(共34张PPT)
§2 实际问题的函数建模
1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的
方法；
2.通过例题的学习，增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力。
学习目标
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
数学建模过程：
实际问题
抽象概括
数学模型
推理演算
数学模型的解
还原说明
实际问题的解
例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
应用举例
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，
日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，
则有日均销售量为
而
有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
例2 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数.
(1)当　　 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的
总金额最大？
(2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范
围.
解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设：
当价格上涨x%时，销售总额为
即
取　　 ,得：
当 x = 50时， 　　　　 即该商品的价格上涨50%时，
销售总金额最大.
(2)∵二次函数
在 　　 上递增，
在　　　　　 上递减
∴适当地涨价，即 x>0 , 即
就是 0 < k <1 ,能使销售总金额增加.
例3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
（1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为y=p(1+r)x.
思路分析
（2）1期后本利和为：
2期后本利和为： 　　　
……
x期后，本利和为：
将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式：
由计算器算得：y = 1117.68（元）
其中t表示经过的时间， 表示t＝0时的人口数，
r表示人口的年平均增长率。
例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,
1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数／万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
(1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
由
可得1951的人口增长率为
同理可得，
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
令
则我国在1950-1959年期间的人口
增长模型为
由图像可以看出,所得模型
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
将y=130000代入
计算可得
（2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)，
求该处的海拔h
（c,k为常量）
y=cekx
在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ，
在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)，
（1）问海拔6.710 (km)处的大气压强约为多少？
（精确到0.0001)
y与x之间的函数关系式是
是y(105Pa)，
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强
解:(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
把 x=6.712代入上述函数式，得
≈0.4668 (105Pa)
答：7 (km)高空的大气压强为0.4516 (105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
答:该处的海拔为6(km)
解得x=6(km)
例5 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高
体重
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
26.86
20.92
31.11
38.85
47.25
55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数
中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值．
⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
分析：(1)根据上表的数据描点画出图像（如下）
(2)根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数来近似反映．根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似反映
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图像；
如果取其中的两组数据（70，7.90）（160，47.25）
根据图像，选择函数
进行拟合．
代入函数
由计算器得
从而函数模型为
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为
⑵将x=175代人
得
有计算器计算得 y=63.98，
所以，这个男生体重偏胖．
由于
点评：函数拟合与预测的步骤：
⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图；
⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．
⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践,
旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价
住房率
20元
18元
16元
14元
65％
75％
85％
95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
C
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400
个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为
了取得最大利润，每个售价应定为( )
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
A
y=(90+x-80)(400-20x)
为常数)，
已知四月份该产品的产量为1.37万件，
请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或
解：设二次函数为：
由已知得
所以
当x=4时，
又对于函数
由已知得：
所以
当x=4时，
由四月份的实际产量为1.37万件,
∴选用函数 作模拟函数较好。
（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；
（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.