13.1.2 线段的垂直平分线的性质 提优课时训练 2021—2022学年人教版数学八年级上册（word版含答案）

13.1.2　第1课时　线段的垂直平分线的性质
命题点
1　线段垂直平分线的性质
1.如图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为N,AM=5
cm,△MAB的周长为16
cm,那么AN的长为
(　　)
A.3
cm
B.4
cm
图
C.5
cm
D.6
cm
2.如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,交AB于点E,交BC于点D,若AD=4,BC=3DC,则BC等于
(　　)
A.4
B.4.5
C.5
D.6
3.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F.若△AEF的周长为10
cm,则BC的长为
　　　　cm.?
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,DE垂直平分AB交AB于点D.求证:BE+DE=AC.
5.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E,BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G,若△BEG的周长为16,GE=3,求AC的长.
命题点
2　线段垂直平分线的判定
6.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的
(　　)
A.三条高所在直线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
7.如图,线段AB外有C,D两点(在AB同侧),且CA=CB,DA=DB,∠ADB=80°,∠CAD=10°,则∠ACB的度数为
(　　)
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
8.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
9.已知:如图,AB=AC,DB=DC,点E在直线AD上.求证:EB=EC.
命题点
3　基本作图,过直线外一点作已知直线的垂线
10.如图,点P在直线l外,以点P为圆心,大于点P到直线l的距离为半径画弧,交直线l于点A,B;保持半径不变,分别以点A,B为圆心画弧,两弧相交于点Q,则PQ⊥l.上述尺规作图的依据是
(　　)
A.一条直线与两平行线中的一条垂直,必然与另一条直线也垂直
B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,两点确定一条直线
C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,两点确定一条直线
D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
11.数学活动课上,两名同学围绕作图问题:“如图①,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形,其中作法正确的为图　　　　(填“②”或“③”).?
12.如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD交BC的垂直平分线DE于点D,点E在BC上,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N.求证:BM=CN.
13.如图,DF为△ABC的边BC的垂直平分线,F为垂足,DF交△ABC的外角平分线AD于点D,DE⊥AB于点E,且AB>AC,连接BD,CD.求证:
(1)∠DBE=∠DCA;
(2)BE=AC+AE.
第2课时　线段垂直平分线的画法
命题点
1　基本作图——线段的垂直平分线
1.如图所示的尺规作图是作
(　　)
A.一条线段的垂直平分线
B.一个角的平分线
C.一条直线的平行线
D.一个角等于已知角
2.[2018·襄阳]
如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,与BC,AC分别交于点D,E.若AE=3
cm,△ABD的周长为13
cm,则△ABC的周长为
(　　)　
A.16
cm
B.19
cm
C.22
cm
D.25
cm
3.在数学课上,老师提出如下问题:如图,已知△ABC中,AB(　　)
4.如图,已知钝角三角形ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以点C为圆心,CA长为半径画弧①;
步骤2:以点B为圆心,BA长为半径画弧②,交弧①于点D;
步骤3:连接AD,交BC的延长线于点H.
则下列叙述正确的是
(　　)
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
5.如图,已知△ABC.
(1)用直尺和圆规分别作出AB,AC边的垂直平分线l1,l2;
(2)若直线l1,l2的交点为O,连接OB,OC.求证:OB=OC.
命题点
2　作轴对称图形的对称轴
6.画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格.
正多边形的边数
3
4
5
6
…
对称轴的条数
…
根据上表,猜想正n边形有　　　　条对称轴.
7.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院,使医院到A,B两个居民小区的距离相等,并且到公路AB和AC的距离也相等,请你确定这座中心医院的位置.
典题讲评与答案详析
1.A
2.D　[解析]
∵DE垂直平分AB,AD=4,
∴BD=AD=4.
∵BC=3DC,
∴BD=2CD.
∴CD=2.
∴BC=BD+CD=6.故选D.
3.10　[解析]
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,∴AE=BE,AF=CF.
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10
cm.
4.证明:∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
又∵DE⊥AB,BE平分∠ABC,
∴CE=DE.
∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.
∵AC=AE+CE,
∴BE+DE=AC.
5.解:∵DE垂直平分线段AB,GF垂直平分线段BC,
∴EB=EA,GB=GC.
∵△BEG的周长为16,
∴EB+GB+GE=16.
∴EA+GC+GE=16.
∴GA+GE+GE+GE+EC=16.
∴AC+2GE=16.
∵GE=3,
∴AC=10.
6.D　7.C
8.解:(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠BAC=25°.
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°.
∴∠EDA=90°-25°=65°.
(2)证明:∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°=∠ACB.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC.
又∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD.
∴AE=AC,DE=DC.
∴点A,D都在线段CE的垂直平分线上.
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
9.证明:连接BC.
∵AB=AC,DB=DC,
∴直线AD是线段BC的垂直平分线.
又∵点E在直线AD上,
∴EB=EC.
10.C　11.③
12.证明:连接BD,CD.
∵DE垂直平分BC,∴BD=CD.
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DMB=∠DNC=90°,DM=DN.
在Rt△BMD和Rt△CND中,
∴Rt△BMD≌Rt△CND(HL).
∴BM=CN.
13.证明:(1)如图,过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G.
∵DF是BC的垂直平分线,∴BD=CD.
∵AD是△ABC的外角平分线,DE⊥AB,DG⊥CA,
∴DE=DG,∠DEB=∠DGC=90°.
在Rt△DBE和Rt△DCG中,
∴Rt△DBE≌Rt△DCG(HL).
∴∠DBE=∠DCA.
(2)∵Rt△DBE≌Rt△DCG,∴BE=CG.
在Rt△DEA和Rt△DGA中,
∴Rt△DEA≌Rt△DGA(HL).
∴AE=AG.
∴BE=CG=AC+AG=AC+AE,
即BE=AC+AE.
典题讲评与答案详析
1.A
2.B　[解析]
由作图可知,DE垂直平分线段AC,∴AD=CD,AE=EC=3
cm.∴AC=6
cm.
∵AB+AD+BD=13
cm,
∴AB+BD+CD=13
cm.
∴△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=13+6=19(cm).
3.C　[解析]
∵PA+PB=BC,而PC+PB=BC,∴PA=PC.∴点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.
4.A　[解析]
如图,连接CD,BD.
∵CA=CD,BA=BD,
∴点C,B都在线段AD的垂直平分线上.
∴BH垂直平分线段AD.
故选A.
5.解:(1)如图所示.
(2)证明:如图,连接OA.
∵l1是AB的垂直平分线,
∴OA=OB.
同理,OA=OC.
∴OB=OC.
6.解:如图.
故填3,4,5,6,n.
7.解:作线段AB的垂直平分线EF,作∠BAC的平分线AM,EF与AM相交于点P,则点P处即为这座中心医院的位置.