吉林省长春市重点高中2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案

长春市重点高中2020-2021学年度下学期期末联考
高二数学（理）试题
2021年7月
本试卷分客观题和主观题题两部分共23题，共150分，共2页。联考时间为120分钟。联考结束后，只交答题卡。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．给出下列结论：①；②若，则；③若，则；其中正确的个数是（ ）
A． 0 B．1 C．2 D． 3
2．下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（ ）
①是周期函数；②是三角函数；
?③三角函数是周期函数；
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
3．随机变量的分布列如右表，则的值为（ ）
A．4.4 B．7.4
C．21.2 D．22.2
4．的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的含项的系数是（ ）????
A．112 B． C．60 D．
5．甲上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
6．某单位做了一项统计，了解办公楼用电量(度)与气温()之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
?气温（)） 18 13 10
?用电量（度） 24 34 38 64
由表中数据得到回归方程，则当平均气温气温为()时，预测用电量为（ ）
A．64度 B．66度 C． 68度 D．70度
7．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为（ ）
A．0.48 B．0.36 C．0.18 D．0.10
8．已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）???
A． B． C． D．
9．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人限报1科，每科至少有一名学生申报，则不同的报名方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
10．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球档的概率为（ ）
A． B．
C． D．
11．复数满足（为虚数单位），则的最大值是（ ）
A．10 B． 9 C．7 D．3
12．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． ______．
14．已知，，，……，观察这些等式的规律，若（均为正整数），则______．
15．已知组合数方程：()，则______．
16．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．已知复数.（1）求；（2）计算：……．
18．已知 ．
（1）求?；（2）求…；（3）求…．
19．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查，得到列联表如下：
35岁以下（含35岁） 35岁以上 合计
使用移动支付 40
50
不使用移动支付
40
合计

100
（1）将上面的列联表补充完整，并通过计算，说明是否有99.9%的把握认为支付方式与年龄有关？
（2）在使用移动支付人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步问卷调查，从这10人中随机选出2人中，设年龄低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望．
参考公式：其中
参考临界值表：
0.5 0.4 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．已知曲线：与：在第一象限内的交点为P．
（1）求曲线在点P处的切线方程；
（2）若直线将两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）分割成左、右面积之比为的两部分，求实数的值．
21．已知函数（）．
（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选其中一道=题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)曲线C与直线交于A，B两点，若，求k的值．
23．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，求实数a的取值范围．
长春市重点高中2020-2021学年度下学期期末联考
高二理科数学答案
2021年7月
一、选择题
题数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B A A B C D C C B D
二、填空题
13. 14. 15. 16. 或
三、解答题
17.解：化简
（1），∴
（2），……
有，且显然
∴……．
18. 解： （1）二项展开式的通项公式，令，则
（2）令得，再令得，…
∴…
（3）令得，… ①
再令得，… ②
由得：…．
19.解：（1）列联表完成如下：
35岁以下（含35岁） 35岁以上 合计
使用移动支付 40 10 50
不使用移动支付 10 40 50
合计 50 50 100
，∴有99.9%把握认为支付方式与年龄有关。
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人，即35岁以下（含35岁）有8人，35岁以上有2人，则从这10人中随机选出2人，低于35岁（含35岁）的人数为X的所有可能取值为0，1，2
；；
0 1 2



∴X的分布列如下：
期望
20. 解：（1）由题可知，曲线：与：在第一象限内的交点为．
的导函数，则，又切点的坐标为，
所以曲线在点P处的切线方程为，即．
（2）曲线：与：，两曲线的交点坐标为和，
所以两条曲线所围图形的面积：
．
又直线将两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）分割成左、右面积之比为的两部分，
令，因为，则，则上式可化为，
解得，又，∴，即 。
21. 解：(1) 的定义域为，.
当时，，所以在上单调递增。
当时，若，则；
若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：当时，要证?，即证，即证.
令函数，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令函数，则.
当时，；当时，。
所以在上单调递减，在上单调递增，所以。
因为，所以，即，从而?得证.
22. 解： （1）由（为参数），得，
∵，∴曲线C的极坐标方程为；
（2）设直线l的极坐标方程为，（，），其中为直线l的倾斜角，
代入曲线C得，设A，B所对应的极径分别为．
，∴，，，
∴，∴，满足，∴
则
23.解：（1）若，则，原不等式可化为：
则或或
即或或
综上，不等式的解集是；
(2) 不等式对任意实数x都成立，即恒成立，
又由绝对值三角不等式：
（当且仅当时，等号成立）
所以只需，解得或．