3.3
幂函数
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是(
)
A．
B．
C．
D．
2．幂函数在上为增函数，则实数的值为（
）
A．0
B．1
C．1或2
D．2
3．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
4．已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知幂函数的图象过点P(2,4)，则（
）
A．
B．1
C．2
D．3
6．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是(
)
A．的定义域和值域相等
B．的图象关于原点中心对称
C．在定义域上是减函数
D．是奇函数
填空题
7.若且，则与的大小关系是_________．
8.幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.
9.已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．
解答题
10.比较下列各题中两个值的大小：
（1）；（2）.
11.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
12.是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．3.3
幂函数
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
A:
为偶函数，且在上递增，即在上单调递减，排除；
B:
为偶函数，在上单调递增；
C:
为奇函数，故排除；
D:
为奇函数，故排除.
故选:B.
2．幂函数在上为增函数，则实数的值为（
）
A．0
B．1
C．1或2
D．2
【答案】D
【解析】
由题意为幂函数，所以，解得或.
因为在上为增函数，所以，即，所以.
故选D.
3．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】
由题意可得：且为偶数，，
解得，且为偶数，，
∴．
故选：C．
4．已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：
故选：C.
5．已知幂函数的图象过点P(2,4)，则（
）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
由题意，幂函数的图象过点P(2,4)，可得，解答.
故选：C.
6．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是(
)
A．的定义域和值域相等
B．的图象关于原点中心对称
C．在定义域上是减函数
D．是奇函数
【答案】C
【解析】
，函数的定义域和值域均为，A正确；
，，函数为奇函数，故BD正确；
在和是减函数，但在不是减函数，C错误.
故选：C.
填空题
7.若且，则与的大小关系是_________．
【答案】
【解析】
因为
所以
由因为函数，在上单调递减，
所以
故答案为：
8.幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.
【答案】2
【解析】
函数f（x）=（m2﹣3m+3）xm是幂函数，
∴m2﹣3m+3=1，
解得m=1或m=2；
当m=1时，函数y=x的图象不关于y轴对称，舍去；
当m=2时，函数y=x2的图象关于y轴对称；
∴实数m=2．
故答案为：2．
9.已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
设幂函数，由，得到，于是；
若，则，所以，解得．
故答案为；
解答题
10.比较下列各题中两个值的大小：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）∵幂函数在上是增函数，且，
.
（2）在上是增函数，且，
.
11.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴为x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f(－)＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为[－，15]．
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
12.是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】f(x)＝(x－a)2＋a－a2，
当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，
∴由得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，由得a＝－1；
当0＜a≤1时，由得a不存在；
综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1.
