4.2
指数函数
选择题
1．下列函数中指数函数的个数是（
）．
①
②?
③
??
④
A.
0
B.
C.
D.
2．若有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数是指数函数，则
A.
B.
C.
D.
4．下列函数：①y＝4x2，②y＝6x，③y＝32x，④y＝3·2x，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈N＋)其中正整数指数函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．函数的图象的大致形状是
A．
B．
C．
D．
6．函数在区间上的最大值是（
）．
A.
B.
C.
D.
填空题
7．已知函数f(x)＝
则f(2)＝________.
8．给出下列命题:
①
与都等于(n∈N
);②；③函数与都不是指数函数；④若（且），则．其中正确的是____.
9.函数的单调递减区间是_________.
解答题
10．已知指数函数满足，定义域为R的函数．
求的解析式；
判断函数的奇偶性；
11.已知函数f(x)＝3x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
y
x
x
y
x4.2
指数函数
选择题
1．下列函数中指数函数的个数是（
）．
①
②?
③
??
④
A.
0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】形如
的函数称为指数函数.
2．若有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以即，故应选D.
3．函数是指数函数，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】函数是指数函数，∴，解得，
∴，∴．
故选D．
4．下列函数：①y＝4x2，②y＝6x，③y＝32x，④y＝3·2x，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈N＋)其中正整数指数函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题意可得y＝6x，y＝32x=9x为正整数指数函数，题中所给的其余函数不是正整数指数函数，即正整数指数函数的个数为2.
本题选择C选项.
5．函数的图象的大致形状是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以根据指数函数的图象和性质，函数为减函数，图象下降；函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.
6．函数在区间上的最大值是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】,当x=-2时取得最大值为27.
填空题
7．已知函数f(x)＝
则f(2)＝________.
【答案】8
【解析】f(2)＝f(3)＝23＝8.故答案为8
8．给出下列命题:
①
与都等于(n∈N
);②；③函数与都不是指数函数；④若（且），则．其中正确的是____.
【答案】③.
【解析】①错误,当为偶数,时不成立,②错误,
,③正确,两个函数均不符合指数函数的定义,④错误,当时,,而当时,.
故答案为③.
9.函数的单调递减区间是_________.
【答案】
【解析】令，则，
在上递增，在上递减，而是增函数，
原函数的递减区间为，故答案为.
解答题
10．已知指数函数满足，定义域为R的函数．
求的解析式；
判断函数的奇偶性；
【答案】（1）；（2）见解析；【解析】
【详解】解：根据题意，函数为指数函数，设，
若，则，解可得，则，，
由的结论，，
则，函数为奇函数；
11.已知函数f(x)＝3x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）log3(1＋)
（2）f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增;（3）[－4，＋∞)
【解析】解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2.
∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±.
∵3x>0，∴3x＝1＋.∴x＝log3(1＋)．
(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.
∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3t＋m≥0，即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.
令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，∴g(x)max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．
