4.4
对数函数
选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A.y＝log3(x＋1)
B.y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C.y＝logax2(a>0，且a≠1)
D.y＝lnx
2．已知,则（
）
A.
B.
C.3
D.
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：
）（
）
A．2017年
B．2018年
C．2019年
D．2020年
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的，函数满足”的是（
）
A.幂函数
B.对数函数
C.指数函数
D.一次函数
5．函数的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．设，则__________．
8．若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．
9．函数恒过定点________．
10．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________．
三、解答题
11．设函数.
(1)确定函数f
(x)的定义域；
(2)判断函数f
(x)的奇偶性.
12．已知函数.
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.4.4
对数函数
选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A.y＝log3(x＋1)
B.y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C.y＝logax2(a>0，且a≠1)
D.y＝lnx
【答案】D
【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.
2．已知,则（
）
A.
B.
C.3
D.
【答案】A
【解析】∵，∴.故选A.
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：
）（
）
A．2017年
B．2018年
C．2019年
D．2020年
【答案】D
【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得，则，即，故，应选答案D。
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的，函数满足”的是（
）
A.幂函数
B.对数函数
C.指数函数
D.一次函数
【答案】B
【解析】在选项A中，取，则，而，显然不满足题意；在选项B中，取，则，而，显然满足题意；选项C中，取，则，而，显然不满足题意；选项D中，取，则，而，显然不满足题意.故选B.
5．函数的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由对数函数性质知，函数是一个减函数，当时，函数值小于0，函数的图象可由函数的图象轴下方的部分翻到轴上面，轴上面部分不变而得到，由此知，函数的单调递增区间是，故选D.
点睛：本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值函数与原来的函数图象间的关系，其关系是：与原函数轴上方的部分相同，轴下方的部分关于轴对称，简称为“上不动，下翻上”.
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数解析式为
y=1.104x，（x＞0）函数为指数函数，底数1.104＞1递增，选B
二、填空题
7．设，则__________．
【答案】
【解析】，,;
8．若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，
据此可得：.
9．函数恒过定点________．
【答案】(1,2)
【解析】当时，.所以函数恒过定点(1,2).
10．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________．
【答案】①③
【解析】根据题意，函数的图象经过点，故函数为
令时，，故①正确；
令时，，减少，当时，减少，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令，解得
t1＋t2＝t3故③正确；
三、解答题
11．设函数.
(1)确定函数f
(x)的定义域；
(2)判断函数f
(x)的奇偶性.
【答案】(1)定义域为R.
(2)见解析.
【解析】⑴
,故，两边平方可得，
恒成立故函数的定义域为
⑵
,
则
（满足平方差公式）
即，故函数是奇函数
12．已知函数.
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为.
【解析】（1）且，设，则为减函数，
时，的最小值为，当时，恒有意义，
即时，恒成立，，所以.
又且，的取值范围是；
（2），，函数为减函数，
在区间上为减函数，外层函数为增函数，
，时，的最小值为，的最大值为，
，即，
故不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为.
