3.2.2
奇偶性
选择题
1．下列函数中，是奇函数的为(???
).
A.
B.
C.
D.
2.
若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
3.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,
2a]上的偶函数,那么a+b等于(
)
(A)0
(B)
(C)
(D)-1
4.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2
018)=k,则f(-2
018)等于(
)
(A)k
(B)-k
(C)1-k
(D)2-k
5.(多选题)有下列几个命题,其中正确的命题是( )
A.函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上单调递减
B.函数y=的单调区间是[-2,+∞)
C.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)
D.已知函数g(x)=是奇函数,则f(x)=2x+3
解析:y=在(-∞,-1),(-1,+∞)上均单调递减,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不单调递减,如-2<0,但,故A错误;
y=在[-2,-1)和(5,+∞)上无意义,从而在[-2,+∞)上不是单调函数,故B错误;
由a+b>0得a>-b,又f(x)在R上单调递增,所以f(a)>f(-b),同理,f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故C正确;
设x<0,则-x>0,g(-x)=-2x-3,因为g(x)为奇函数,所以f(x)=g(x)=-g(-x)=2x+3,故D正确.
二、填空题
6．若函数是偶函数，则等于____.
7.函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
解答题
8、判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
9.
函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数a，b，并确定函数的解析式；
（2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）
10.
已知函数定义在上，满足：任意，都有成立，.
（1）求的值.
（2）判断的奇偶性，并加以证明；3.2.2
奇偶性
选择题
1．下列函数中，是奇函数的为(???
).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】对函数，由于，因此，定义域为，，因此为奇函数．
故选A．
2.
若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
【答案】B
【解析】
∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，
∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．选B
3.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,
2a]上的偶函数,那么a+b等于(
)
(A)0
(B)
(C)
(D)-1
【答案】C
【解析】依题意有,解得所以a+b=.故选C.
4.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2
018)=k,则f(-2
018)等于(
)
(A)k
(B)-k
(C)1-k
(D)2-k
【答案】D
【解析】设g(x)=ax3+bx,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为f
(2
018)=k,则g(2
018)=f(2
018)-1=k-1,所以g(-2
018)=-g(2
018)=
1-k.所以f(-2
018)=g(-2
018)+1=1-k+1=2-k.故选D.
5.(多选题)有下列几个命题,其中正确的命题是( )
A.函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上单调递减
B.函数y=的单调区间是[-2,+∞)
C.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)
D.已知函数g(x)=是奇函数,则f(x)=2x+3
解析:y=在(-∞,-1),(-1,+∞)上均单调递减,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不单调递减,如-2<0,但,故A错误;
y=在[-2,-1)和(5,+∞)上无意义,从而在[-2,+∞)上不是单调函数,故B错误;
由a+b>0得a>-b,又f(x)在R上单调递增,所以f(a)>f(-b),同理,f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故C正确;
设x<0,则-x>0,g(-x)=-2x-3,因为g(x)为奇函数,所以f(x)=g(x)=-g(-x)=2x+3,故D正确.
二、填空题
6．若函数是偶函数，则等于____.
【答案】1
【解析】由于函数是偶函数，
所以即，
所以恒成立，所以.
7.函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
【答案】奇函数
【解析】
由已知得
的定义域为
即
，则
其定义域关于原点对称，
，所以
是奇函数.
解答题
8、判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数
【解析】（1）有意义，则，即，解得，
所以，函数的定义域为，不关于原点对称，
因此，函数是非奇非偶函数；
（2）解法一：定义法
当时，，
，；
当时，，
，.
所以，函数为奇函数；
解法二：图象法
作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数；
（3）由题意可得，所以且，
所以，函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以，函数为偶函数；
9.
函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数a，b，并确定函数的解析式；
（2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）
【解析】（1）是奇函数，．
即，，
，又，，，
（2）任取，且，
，
，，，，
在（-1，1）上是增函数．
（3）单调减区间为
当x=-1时，，当x=1时，.
10.
已知函数定义在上，满足：任意，都有成立，.
（1）求的值.
（2）判断的奇偶性，并加以证明；
【解析】（1）令得，，解得：，
令得，，又，
所以可得；
（2）令，则有，
所以，所以函数为上的奇函数.
