(共28张PPT)
第二章
基本初等函数（I）
2.3
幂函数
人教版
必修1
学习目标
幂函数
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).
( )
(2)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.
( )
(3)幂函数y=xα(α为常数)的定义域、值域、单调性、奇偶性会因α的不同而不同.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
幂函数的概念?
【例1】
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由已知f(x)=(m2-m-5)·xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
变式训练1 已知f(x)=(m2-m-1)
,问当m为何值时,f(x)既是幂函数又是偶函数??
解:∵f(x)是幂函数,∴m2-m-1=1,
∴m=2或m=-1.
当m=2时,m2-2m-2=-2,此时f(x)=x-2为偶函数.
当m=-1时,m2-2m-2=1,此时f(x)=x为奇函数,不合题意.
综上所述,m的值为2.
探究二
幂函数的图象?
【例2】已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )
A.c
B.aC.bD.c分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
解析:由幂函数的图象特征知,c<0,a>1,0答案:A
变式训练2 已知幂函数y=x-1(x>0)及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域,分别标记为①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),则幂函数y=
的图象经过的区域对应的序号有( )?
A.④⑦
B.④⑧
C.③⑧
D.①⑤
探究三
幂函数性质的应用?
因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解
典例若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a的取值范围.
错解:因为幂函数f(x)=x-1为减函数,所以由(a+1)-1<(3-2a)-1,得a+1>3-2a,解得a>
故实数a的取值范围是
错因分析:函数f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性,错解中错用了函数单调性,从而导致错误.
正解:由于幂函数f(x)=x-1在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,且在(-∞,0)上有f(x)<0;在(0,+∞)上有f(x)>0,
当堂检测
2.函数
的图象大致是( )
解析:因为函数y=
在(0,0)处有定义,且该函数为奇函数,排除选项A,D;又
>1,排除选项C,故选B.
答案:B
3.下列命题正确的是( )
A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象只在第一象限出现
C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内是增函数
D.幂函数的图象不可能在第四象限
解析:当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为两条射线,故A选项不正确;易知选项B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不具有单调性,故选项C不正确;当x>0,α∈R时,y=xα>0,则幂函数的图象都不在第四象限,故选项D正确.
答案:D(共48张PPT)
人教版
必修1
第二章
基本初等函数（I）
2.2
对数函数
2.2.2
对数函数及其性质
第二课时
对数函数性质的应用
一个驾驶员喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒之后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少．为了保证交通安全，某地交通规则规定：驾驶员血液中的酒精含量应不大于0.08mg/mL，问若喝了少量酒的驾驶员至少过多少时间才能驾驶？
情景引入
1.对数复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为________．
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
新知导学
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【思维拓展】 (1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．
[答案] 增函数 减函数
预习自测
命题方向一
对数函数单调性的应用
题
型
讲
解
[思路分析] (1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？
(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？
(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？
[解析] (1)①因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.
②当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
[规律总结] 1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较
2．常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
跟踪练习
[解析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.
命题方向二
对数型复合函数的单调性
[规律总结] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数
跟踪练习
命题方向三
对数型复合函数的值域
[答案] A
[解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞).
跟踪练习
命题方向四
对数型复合函数的奇偶性
跟踪练习
命题方向五
对数函数性质的综合应用
[规律总结] 此题从反面考查奇、偶函数的判定，从正面考查函数单调性的证明．
(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．
跟踪练习
误区警示
[规律总结] 注意y＝lg(ax2＋2x＋1)的值域为R与u＝ax2＋2x＋1恒为正不一样．前者要求函数u＝ax2＋2x＋1能取遍一切正实数，后者只要求u＝ax2＋2x＋1取正时，对应的x∈R即可．
跟踪练习
[答案] B
[解析] a＝log37∈(1,2)，b＝23.3∈(8,16)，c＝0.8∈(0,1)∴c当堂检测
[解析] 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数，故选D.
[答案] 3
[解析] 当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．(共37张PPT)
人教版
必修1
第二章
基本初等函数（I）
2.2
对数函数
2.2.1
对数与对数运算
第二课时
对数的运算性质
已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
由上面的问题你能得出什么结论？
情景引入
1.对数的运算性质
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
新知导学
[答案] A
[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A.
预习自测
[答案] C
[解析] lg20＋lg50＝lg1
000＝3.故选C.
[答案] A
[解析] log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)
＝3log32－2(log32＋1)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.
[答案] 22
[解析] 原式＝2×2＋3log226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22.
命题方向一
对数的运算性质
题
型
讲
解
跟踪练习
命题方向二
运用对数的运算性质化简求值
[思路分析] (1)对数的运算性质可以“正用”，也可以“逆用”，如何理解使用．
(2)真数中出现根式或小数应如何处理？
(3)第(3)题中平方如何处理？
[规律总结] 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．
跟踪练习
命题方向三
换底公式的应用
跟踪练习
命题方向四
换底公式的综合应用
[规律总结] 第(2)题中，解法一借助指数变形来解，解法二利用换底公式来解．无论哪种解法，都体现出一种转化思想，转化思想是进行对数运算的灵魂．
跟踪练习
误区警示
[错因分析] 在对数式的变形过程中，变形前后字母的取值范围会发生变化，这时一定要通过限制条件来保证变形的等价性．本题中，去掉对数符号后，x>0，y>0，x－2y>0，这些条件在整式中是体现不出来的．故应添上或在最后进行检验．
跟踪练习
当堂检测(共42张PPT)
第二章
基本初等函数（I）
2.1
指数函数
2.1.2
指数函数及其性质
第一课时
指数函数及其性质
人教版
必修1
2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？
情景引入
1.指数函数的定义
一般地，函数y＝______(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是______．
[知识点拨] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
ax
自变量
新知导学
2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：
R
(0，＋∞)
(0,1)
增函数
减函数
[知识点拨] 指数函数的性质可用如下口决来记忆：
指数增减要看清，抓住底数不放松；
反正底数大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(0,1)点．
预习自测
[答案] C
[解析] 指数函数在底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减，故选C.
[答案] (3，＋∞)
[解析] 因为指数函数y＝(a－2)x在R上为增函数，所以a－2>1，即a>3.
命题方向一
指数函数的概念
题
型
讲
解
[解析] (1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1指数是x＋1而非x，不是指数函数；
(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；
(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数的定义，不是指数函数．
(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
(6)y＝(2a－1)x中由于底数可能不大于0或可能为1，故不一定是指数函数．
[规律总结] 指数函数的结构特征
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式.指数函数具有以下特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)ax的系数是1.
跟踪练习
[答案] (1)、(4)、(6)
[解析] (2)中底数x不是常数，而4不是自变量；
(3)中底数－4<0，∴不是指数函数；
(5)中指数不是自变量x，而是x的函数．
它们都不符合指数函数的定义.
命题方向二
函数图象过定点问题
[解析] 原函数f(x)＝ax－1＋1可变形为y－1＝ax－1，将y－1看作x－1的函数．
令x－1＝0则y－1＝1即x＝1，y＝2，
∴函数f(x)＝ax－1＋1恒过定点A(1,2)．
[答案] (1,2)
[规律总结] 指数型函数过定点的求法
求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图象所过的定点．
跟踪练习
命题方向三
指数函数的图象
[思路分析] 根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．
[解析] 可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
[答案] B
[规律总结] 指数函数图象的变化规律
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
跟踪练习
[答案] D
[解析] 按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D.
[答案] D
[解析] 由函数图象不过第二象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b
≤0，故选D.
命题方向四
与指数函数有关的定义域与值域问题
[规律总结] 1.函数单调性在求函数值域中的应用
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令t＝f(x)
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
跟踪练习
误区警示
跟踪练习
当堂检测
[答案] C
[解析] 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B项，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
[答案] C
[解析] 令x－1＝0，得x＝1，此时y＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(1,3)．也可以看作由y＝ax的图象先向上平移2个单位，再右移1个单位得到，故定点(0,1)移动至(1,3)点，故选C.
[答案] ①②
[解析] 根据指数函数的定义可知只有符合y＝ax(a>0且a≠1)形式才是指数函数．
[答案] [1，＋∞)
[解析] ∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，
∴x≥0即y≥20，
∴值域为[1，＋∞)．(共30张PPT)
第二章
基本初等函数（I）
2.1
指数函数
2.1.1
指数与指数幂的运算
人教版
必修1
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.
2.会进行根式与分数指数幂的互化.
3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.
学习目标
知识点一 根式的定义
1.n次方根的定义
一般地，如果
，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
2.n次方根的性质
(1)当n是
时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号
表示.
(2)当n是
时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号
表示，负的n次方根用符号
表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成
.
答案
偶数
xn＝a
奇数
(3)0的任何次方根都是0，记作
.
(4)负数没有偶次方根.
3.根式的定义
根指数
答案
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
＝
(a＞0，m，n∈N
，且n＞1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
＝
(a＞0，m，n∈N
，且n＞1).
(3)0的正分数指数幂等于
，0的负分数指数幂
.
答案
没有意义
0
知识点二 分数指数幂
答案
答案
返回
知识点三 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝
(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝
(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝
(a＞0，b＞0，r∈Q).
知识点四 无理数指数幂
指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.
有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
无理数
ar＋s
ars
arbr
题型一 根式的运算
例1 求下列各式的值.
解析答案
解析答案
当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
反思与感悟
1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 化简下列各式.
解析答案
题型二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式.
反思与感悟
反思与感悟
跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式：
解析答案
解析答案
解析答案
反思与感悟
题型三 分数指数幂的运算
指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 计算或化简：
解析答案
反思与感悟
题型四 条件求值
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
解 对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.
反思与感悟
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4 已知a＋a－1＝5(a>0)，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；
解 方法一 由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2aa－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.
方法二 a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
(3)a3＋a－3.
解 a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)＝(a＋a－1)(a2＋2aa－1＋a－2－3)
＝(a＋a－1)[(a＋a－1)2－3]＝5×(25－3)＝110.
因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误
易错点
解析答案
解析答案
返回
解析答案
1.下列各式正确的是( )
A
当堂检测
解析答案
A.0
B.2(a－b)
C.0或2(a－b)
D.a－b
解析 当a－b≥0时，
原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
C
解析答案
A.1－2x
B.0
C.2x－1
D.(1－2x)2
解析 ∵2x>1，∴1－2x<0.
C
答案
解析答案
5.已知10m＝2，10n＝3，则103m－n＝_____.
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
返回
课堂小结