专题强化训练2　平面向量-北师大版高中数学必修四练习（Word含解析）

专题强化训练(二)　平面向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A．－＝　 B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
2．已知点A(－1，－2)按向量a平移后变为A′(0，1)，点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为(　　)
A．(3，1) B．(1，3)
C．(3，2) D．(2，3)
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　　B．3 C．2　　　　D．0
4．已知O为平面上的一个定点，A，B，C是该平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是(　　)
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
5．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
二、填空题
6．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________．
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
三、解答题
9．已知|a|＝，|b|＝1.
(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；
(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.
10．已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB.
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．已知a＝，b＝，a∥b，0≤α<2π，则角α等于(　　)
A． B．
C．或 D．或
3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________．
4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
5．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3).
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
专题强化训练(二)　平面向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A．－＝　 B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
D　[起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.]
2．已知点A(－1，－2)按向量a平移后变为A′(0，1)，点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为(　　)
A．(3，1) B．(1，3)
C．(3，2) D．(2，3)
C　[设a＝(x，y)，则有－1＋x＝0，－2＋y＝1，所以a＝(1，3).点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为(3，2).]
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　　B．3 C．2　　　　D．0
B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
故选B.]
4．已知O为平面上的一个定点，A，B，C是该平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是(　　)
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
B　[由题意知(－)·(＋－2)＝·(＋)＝0，如图所示，其中＋＝2(点D为线段BC的中点)，所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．故选B.]
5．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
B　[根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．]
二、填空题
6．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．
1　[(a＋b)·(ka－b)＝(k－1)(1＋a·b)，由于|a|＝1，|b|＝1，且a与b不共线，∴1＋a·b≠0.又(k－1)·(1＋a·b)＝0.∴k＝1.]
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________．
1　[a－2b＝(，3)，
∵(a－2b)∥c，
∴3－3k＝0，∴k＝1.]
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
④　[因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．]
三、解答题
9．已知|a|＝，|b|＝1.
(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；
(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.
[解]　(1)|a－b|＝
＝ ＝1.
(2)∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝a·b－b2＝×1×cos θ－1＝0，
∴cos θ＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
10．已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB.
[解]　(1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，则＝t(2，1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t，7－t)，
＝－＝(5－2t，1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4，2).
(2)由(1)知＝(4，2)，∴＝(－3，5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos ∠ACB＝＝－.
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
A　[·(＋)
＝·2＝2||·||·cos 180°
＝2×××(－1)＝－.]
2．已知a＝，b＝，a∥b，0≤α<2π，则角α等于(　　)
A． B．
C．或 D．或
D　[因为a∥b，所以sin α＝cos α，
所以tan α＝，又0≤α<2π，所以α＝或.]
3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________．
－　[由题意知，与所成的角为，
∴在方向上的射影是2×cos ＝－.]
4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
　[由题意得：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，
即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，则k＋cos －2k cos －2＝0，化简得k＝.]
5．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3).
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
[解]　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4，2－y).
又∵∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0. ①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. ②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0，4)，＝(－8，0)，
所以SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝(8，0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.