专题强化训练3　三角恒等变形-北师大版高中数学必修四练习（Word含解析）

专题强化训练(三)　三角恒等变形
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合 ，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C． D．
2．已知α∈R，sinα＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．将函数y＝cosx＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
4．已知f(x)＝，当α∈时，f(sin 2α)－f(－sin 2α)可化简为(　　)
A．2sin α B．－2cos α
C．－2sin α D．2cos α
5．函数y＝sin x cos x＋cos2x－的图像的一个对称中心为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
6．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________．
7．若＝2 020，则＋tan 2α＝________．
8．函数y＝(a cos x＋b sin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________．
三、解答题
9．已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．求sin (B＋θ).
10．求证：＝.
1．若tan α＝，tan (α＋β )＝，则tan β＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
2．函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)
A． B．π
C． D．2π
3．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
4．函数y＝sinx－cos x的图像可由函数y＝sin x＋cos x的图像至少向右平移______个单位长度得到．
5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sinx cos x)＋b.
(1)当a>0时，求f(x)的单调递增区间；
(2)当a<0且x∈时，f(x)的值域是[3，4]，求a，b的值．
专题强化训练(三)　三角恒等变形
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合 ，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C． D．
B　[由已知得tan θ＝2.∴cos 2θ＝
＝＝＝－.]
2．已知α∈R，sinα＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　[因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得或
故tan α＝＝－或tan α＝3，代入可得
tan 2α＝＝＝－或tan2α＝＝＝－.]
3．将函数y＝cosx＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
B　[y＝cos x＋sin x＝2cos ，将函数y＝2cos 的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，得到y＝2cos ，此时关于y轴对称，则m－＝kπ，k∈Z，所以m＝＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，m的最小值是.]
4．已知f(x)＝，当α∈时，f(sin 2α)－f(－sin 2α)可化简为(　　)
A．2sin α B．－2cos α
C．－2sin α D．2cos α
D　[f(sin 2α)－f(－sin 2α)＝－＝－
＝|sin α－cos α|－|sin α＋cos α|，
由α∈，
所以sin α＜cos α＜0，
即f(sin 2α)－f(－sin 2α)＝2cos α.]
5．函数y＝sin x cos x＋cos2x－的图像的一个对称中心为(　　)
A． B．
C． D．
B　[y＝sin2x＋(1＋cos 2x)－
＝sin －，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，
∴函数图像的一个对称中心为.]
二、填空题
6．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________．
－2　[由题意知，tan α＝－2，
sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos2α－2sin2α
＝
＝＝＝－2.]
7．若＝2 020，则＋tan 2α＝________．
2 020　[＋tan 2α＝＋＝
＝＝
＝＝2 020.]
8．函数y＝(a cos x＋b sin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________．
1　±2　[y＝a cos2x＋b sinx cos x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin (2x＋φ)＋，
∴＋＝2，－＋＝－1，
∴a＝1，b＝±2.]
三、解答题
9．已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．求sin (B＋θ).
[解]　2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，
4cos2B－8cosB＋3＝0，
得cos B＝，sin B＝，
cos θ＝＝－，sin θ＝，
sin (B＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝.
10．求证：＝.
[证明]　原式可化简为＝，
即＝tan 2θ，
而上式左边
＝
＝
＝
＝tan 2θ＝右边，
所以原式得证．
1．若tan α＝，tan (α＋β )＝，则tan β＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
A　[tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝.]
2．函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)
A． B．π
C． D．2π
B　[法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝4
＝4sin cos ＝2sin ，
∴T＝＝π.
法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin x cos x＋cos2x－sin2x－sinx cos x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，∴T＝＝π.故选B.]
3．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
－1　[由sinα＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1.]
4．函数y＝sinx－cos x的图像可由函数y＝sin x＋cos x的图像至少向右平移______个单位长度得到．
　[因为y＝sin x＋cos x＝2sin ，y＝sin x－cos x＝2sin ，所以把y＝2sin 的图像至少向右平移个单位长度可得y＝2sin 的图像．]
5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sinx cos x)＋b.
(1)当a>0时，求f(x)的单调递增区间；
(2)当a<0且x∈时，f(x)的值域是[3，4]，求a，b的值．
[解]　f(x)＝a·＋a·sin 2x＋b
＝sin ＋＋b.
(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)0≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin ≤1，f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，
∴a＝2－2，b＝4.