人教版A版高中数学必修二3.3.4两条平行直线间的距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（
）
A．
B．4
C．
D．2
2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（
）
A．
B．
C．
D．
3．设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若两条平行线，与之间的距离为，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．两平行直线与间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
6．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知直线
与直线平行，则它们之间的距离是(
)
A．1
B．
C．3
D．4
8．两条平行直线和之间的距离为
A．
B．
C．
D．4
9．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=(
)
A．0
B．1
C．-2
D．-1
10．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
二、填空题
11．已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．
12．已知直线和．若，则实数__________，两直线与间的距离是__________．
13．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________.
14．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________.
15．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点的直线l交于点Q，那么的最大值为________.
三、解答题
16．已知直线，.
（1）证明:直线过定点；
（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.
17．已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上.
(1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标；
(2)求的最小值.
18．已知点A（﹣2，1），B（2，4），点P是直线l：y＝x上的动点.
（1）若PA⊥PB，求点P的坐标；
（2）设过A的直线l1与过B的直线l2均平行于l，求l1与l2之间的距离.
19．已知直线的斜率为，纵截距为.
（1）求点（2，4）关于直线的对称点坐标；
（2）求与直线平行且距离为的直线方程.
20．已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.3.4两条平行直线间的距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（
）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用两直线平行的性质求出的值，再利用两平行线间的距离公式求出结果.
【详解】
解：由题意可知，
因为直线与直线平行，
所以，
解得,
所以两直线分别为，
所以它们之间的距离为.
故选：A
【点睛】
此题考查两直线平行的性质和平行线间的距离公式，属于基础题.
2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】
直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】
本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
3．设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将直线的方程化为，利用平行线间的距离公式可求出直线与的距离.
【详解】
直线的方程可化为，因此，直线与的距离为.
故选：C.
【点睛】
本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.
4．若两条平行线，与之间的距离为，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
两条平行线，与，有：，
得：平行线，与
平行线距离为：,解得或-9（舍）
则.
故选A.
5．两平行直线与间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
运用两平行直线的距离公式即可得到结论．
【详解】
根据两平行线间的距离公式得：d．
故选：D．
【点睛】
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
6．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．
【详解】
由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，
所求距离为．
故选：D.
【点睛】
本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．
7．已知直线
与直线平行，则它们之间的距离是(
)
A．1
B．
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意两直线平行，得，由直线可化为，再由两直线之间的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意直线与直线平行，则，
即，则直线可化为，
所以两直线之间的距离为，故选B.
【点睛】
本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．两条平行直线和之间的距离为
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【解析】
∵和互相平行，∴，即m=-2或1，经检验：m=-2两直线重合，故m=1；两条平行直线和之间的距离d=
9．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=(
)
A．0
B．1
C．-2
D．-1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线平行得到，根据两直线的距离公式得到，得到答案.
【详解】
由，得，解得，即直线，
两直线之间的距离为，解得
(舍去)，
所以
故答案选C.
【点睛】
本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.
10．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图像，根据不同的位置得到答案.
【详解】
如图所示：
当顶点处于位置时，格点数为；
当顶点处于位置时，格点数为；
当顶点处于位置时，格点数为；
无论顶点处于什么位置都不能是格点数为；
故选：
【点睛】
本题考查了三角形的边界整数点问题，画出图像是解题的关键.
二、填空题
11．已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
由两直线平行，可先求出参数的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.
【详解】
因为直线，平行，所以，解得，
所以即是，
由两条平行线间的距离公式可得.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.
12．已知直线和．若，则实数__________，两直线与间的距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线和.，利用直线与直线平行的性质能求出，把转化为：，利用两平行线间的距离公式能求出两直线与间的距离.
【详解】
解：直线和，，
，解得，
∴转化为：，
两直线与间的距离是： .
故答案为：；.
【点睛】
本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
13．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________.
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】
【分析】
根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.
【详解】
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝
，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点
，则点P关于点（2，3）的对称点为
，
，解得b＝.
∴直线l的方程是
，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【点睛】
本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.
14．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设两交点分别为，，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.
【详解】
设两交点分别为，，
则故点，
所以直线的方程为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.
15．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点的直线l交于点Q，那么的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线l:
，求出与的交点，从而求出
，即可得到，利用导数研究函数的单调性求其最大值，即得解.
【详解】
设直线l:
要它与相交，则或，
令，令
或
，可得时，函数取得最大值
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了解析几何和导数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
16．已知直线，.
（1）证明:直线过定点；
（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）将直线变形，然后令前系数为0，可得结果.
（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.
【详解】
（1）由
则直线，
令且
所以对任意的，直线必过定点
（2）由直线//，所以可知直线，
则直线，
点到直线距离为
又，所以
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.
17．已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上.
(1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
;(2).
【解析】
【分析】
(1)设出点的坐标,利用两点间距离公式结合已知即可求出点P的坐标；
(2)求出点B关于直线对称的点,利用平面几何的知识可知的最小值就是线段的长度.
【详解】
(1)因为点P在直线上,所以点P的坐标设为.
因为点P到A、B两点的距离相等,所以
两边平方化简得：
,所以点P的坐标为；
(2)
直线的斜率为2,所以过点B(1,6)与直线垂直的直线的斜率为,所以直线的直线方程为：,直线的交点C坐标为：,设点B关于直线对称的点
,因此有,由平面几何的性质可知：
的最小值就是的长度,即.
【点睛】
本题考查了两点间距离公式的应用,考查了点关于线对称点的求法,考查了数学运算能力.
18．已知点A（﹣2，1），B（2，4），点P是直线l：y＝x上的动点.
（1）若PA⊥PB，求点P的坐标；
（2）设过A的直线l1与过B的直线l2均平行于l，求l1与l2之间的距离.
【答案】（1）（0，0）或（，）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设点P（a，a），利用PA⊥PB得，解得：a＝0或，从而求出点P的坐标；
（2）设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），代入点A，B的坐标，求出m＝3，n＝2，再利用两平行线间的距离公式即可求出结果.
【详解】
（1）∵点P是直线l：y＝x上的动点，∴设点P（a，a），
∵PA⊥PB，∴，解得：a＝0或，∴点P（0，0）或（，）；
（2设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），
∴﹣2+m＝1，2+n＝4，∴m＝3，n＝2，
∴直线l1的方程为：y＝x+3，即x﹣y+3＝0，直线l2的方程为：y＝x+2，即x﹣y+2＝0，
∴l1与l2之间的距离为：.
【点睛】
本题考查了求直线的交点，平行直线距离，意在考查学生的计算能力.
19．已知直线的斜率为，纵截距为.
（1）求点（2，4）关于直线的对称点坐标；
（2）求与直线平行且距离为的直线方程.
【答案】（1）
；
（2）或
【解析】
【分析】
（1）设点为，则关于直线的对称点坐标为，利用点关于直线对称的性质，以及中垂线定理，列出关于的式子，结合的中点在直线上，即可求出和；
（2）根据平行直线系方程，由已知直线写出与它平行的直线的方程为：，再利用两平行线间的距离公式，求出，即可得出直线方程.
【详解】
已知直线的斜率为，纵截距为，则方程为：，
（1）设点为点，则关于直线的对称点坐标为，
则直线与直线垂直，则，即①，
且的中点在直线上，所以②，
联立①和②，解得，
所以点关于直线的对称点坐标为.
（2）设所求的直线为，因为直线与直线平行且距离为，
又因为直线方程为：，即，
所以可设直线的方程为：，
则，解得或-11.
所以直线的方程为：或.
【点睛】
本题考查点关于直线对称的点坐标，以及平行直线的方程，还利用中垂线的性质，中点坐标公式，两平行线间的距离公式等基础知识.
20．已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）a=3；（2）P().
【解析】
【分析】
(1)
根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值．
(2)
根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍．
【详解】
(1)l2的方程即为，
∴l1和l2的距离d=，∴.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线
l′:2x-y+c=0上，且,即c=或c=.
∴2x0-y0+或2x0-y0+.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.
联立方程2x0-y0+和x0-2y0+4=0，解得x0=-3,y0=,应舍去.
由2x0-y0+与x0-2y0+4=0联立，解得x0=,y0=.
所以P()即为同时满足三个条件的点.
【点睛】
本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题．
试卷第1页，总3页
