人教版A版高中数学必修二第三章直线与方程单元达标讲评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（
）
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直
2．若直线过点，，则直线的倾斜角是（
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为
( )
A．
B．
C．
D．4
5．下列说法正确的是（
）
A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B．平行的两条直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两条直线的斜率之积为一1
D．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行
6．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．4x－3y＝0
C．4x＋3y＝0
D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
7．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )
A．y＝2x＋4
B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0
D．3x＋y＋1＝0
8．直线和互相平行，则的值为（ ）
A．或3
B．3
C．
D．1或
9．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．
10．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为________.
12．直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是______．
13．已知点?，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________.
14．已知动点分别在轴和直线上，为定点，则周长的最小值为_______.
15．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________
三、解答题
16．已知直线．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．
17．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程.
18．ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求：
（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；
（Ⅱ）BC边上高线AH所在直线的方程．
19．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围;
(2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；
(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.
20．已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二第三章直线与方程单元达标讲评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（
）
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】
分别是中所对边的边长，
则直线斜率为：，
的斜率为：，
∵=﹣1，∴两条直线垂直．
故选C．
2．若直线过点，，则直线的倾斜角是（
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由两点求斜率公式求得直线l的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线l的倾斜角．
【详解】
∵直线l经过点，
∴，
设直线l的倾斜角为α，（0°≤α＜180°），
则tan，α=45°．
故选B．
【点睛】
本题考查了两点求斜率公式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
3．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线将圆平分得直线过圆心，再由直线不经过第四象限，即可求解直线的斜率的取值范围，得到答案.
【详解】
由圆的方程，可知圆心坐标为，
因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，
所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，
所以直线的斜率的取值范围是，故选B.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为
( )
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】
BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0；则d＝
.
5．下列说法正确的是（
）
A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B．平行的两条直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两条直线的斜率之积为一1
D．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据斜率定义判断，可知倾斜角为得直线无斜率可判断A错误．
当一条直线平行轴，一条垂直轴时，两直线垂直，但垂直轴的直线斜率不存在．故C错误．
当两条直线都垂直轴时，它们平行，但都不存在斜率，不能说斜率相等，故D错误．
【详解】
当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A错误．
由直线倾斜角定义可知B正确，
当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C错误，
当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D错误，故选B．
【点睛】
本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．
6．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．4x－3y＝0
C．4x＋3y＝0
D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
分截距均为0和截距不为0两种情况，设直线列方程求解即可.
【详解】
当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)，代入得k＝－，得直线4x＋3y＝0；
当截距不为0时，设方程为，
将(3，－4)代入得a＝－1，得直线x＋y＋1＝0.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了直线的截距的概念及直线的截距式，属于基础题.
7．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )
A．y＝2x＋4
B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0
D．3x＋y＋1＝0
【答案】C
【解析】
设点A（3,1）关于直线的对称点为，则
，解得
，即，所以直线的方程为，联立
解得
，即
,又，所以边AC所在的直线方程为，选C.
点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。解题时要结合实际情况，准确地进行求解。
8．直线和互相平行，则的值为（ ）
A．或3
B．3
C．
D．1或
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用两直线平行对应的系数关系列式求得的值．
【详解】
∵直线和互相平行
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对两直线系数所满足关系的记忆，是基础题．
9．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；
③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为
1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即
，可得a0，求得
b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，
则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由
求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即
?（1﹣b）?|xN﹣xP|，
即（1﹣b）?||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时
b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2
．
两边开方可得
（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得
b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是
，
故选B．
【点睛】
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
10．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件易得四边形为正方形，再是以角为顶角的等腰三角形即可得必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系，可得和，可得答案.
【详解】
由题中条件可知，，，，，∴四边形为正方形.又∵为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形，∴必为边的中点，则，，∴，由题易知，，；直线与轴垂直，则，∴.故选C.
【点睛】
本题考查了直线的斜率公式，以及直线的位置关系与斜率的关系，属于中档题.
二、填空题
11．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为________.
【答案】
【解析】
因为过点，所以，得，
所以斜率．
12．直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是______．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．
【详解】
∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0
∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0
∴c=1
∴所求直线方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．
13．已知点?，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题得直线过定点C(0,1),再作出图形数形结合分析得解.
【详解】
由题得直线过定点C(0,1),
观察图形得直线在AC和BC之间运动（包含直线AC和BC在内），
由题得，,
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直线的位置关系和直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．已知动点分别在轴和直线上，为定点，则周长的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
点C关于直线y=x的对称点为（1，2），点C关于x轴的对称点为（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为（1，2）与（2，﹣1）两点之间的直线距离．
【详解】
点C关于直线y=x的对称点为（1，2），
点C关于x轴的对称点为（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为（1，2）与（2，﹣1）两点之间的直线距离，
|（2，﹣1）|==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
15．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；
③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．
【详解】
解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为
=1，
由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），
由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故﹣≤0，故点M在射线OA上．
设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．
②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即=，即
=，可得a=＞0，求得
b＜，
故有＜b＜．
③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．
设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由
求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即
?（1﹣b）?|xN﹣xP|=，
即（1﹣b）?|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．
由于此时
b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2
．
两边开方可得
（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得
b＞1﹣，
故有1﹣＜b＜．
再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是
，
解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．
由于a＞0，∴b＞1﹣．
当a逐渐变大时，b也逐渐变大，
当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．
综上可得，1﹣＜b＜，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
三、解答题
16．已知直线．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据两直线垂直的等价条件可得所求．（Ⅱ）先由求出，然后根据两平行线间的距离公式求解．
【详解】
（Ⅰ）∵，且，
∴，
解得．
（Ⅱ）∵，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为．
【点睛】
本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若，则①；②
且，或且．考查转化和计算能力，属于基础题．
17．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
设直线的截距式方程为，根据题设得到关于的方程组，解出可得直线方程.
【详解】
设直线方程为，则，
解得或，
故所求的直线方程为：或.
【点睛】
本题考查直线方程的求法，注意根据题设条件选择合适的直线方程的形式.
18．ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求：
（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；
（Ⅱ）BC边上高线AH所在直线的方程．
【答案】（Ⅰ）2x－3y+6=0；（Ⅱ）2x－y+6=0．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求得BC的中点坐标，利用点斜式即可求得BC边上中线AD所在直线的方程；
（Ⅱ）可求得BC的斜率，继而可求得BC边上高线AH所在直线的斜率，利用点斜式即可求得AH所在直线的方程．
【详解】
（Ⅰ）∵A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），∴BC的中点M（0，2），
∴BC边上中线AD所在直线的方程为：y﹣2＝（x﹣0），∴2x﹣3y+6＝0；
（Ⅱ）∵BC的斜率kBC＝﹣，∴BC边上高线AH所在直线的斜率kAH＝2，
∴由点斜式得AH所在直线的方程为：y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0．
【点睛】
本题考查直线的点斜式方程与直线垂直间的关系，属于基础题．
19．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围;
(2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；
(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.
【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值为4，此时的直线方程为x?2y+4=0；（3）d的最大值为5，此时直线方程为3x+4y+2=0。
【解析】
【分析】
（1）把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组求解；
（2）由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；
（3）当PM⊥l时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程．
【详解】
(1)由kx?y+1+2k=0,得k(x+2)+(?y+1)=0，
联立,解得，
则直线l:kx?y+1+2k=0过定点M(?2,1)；
由kx?y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，
要使直线不经过第四象限,则，解得k?0。
∴k的取值范围是[0,+∞)。
(2)如图，
由题意可知，k>0，
在kx?y+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，
∴
。
当且仅当，即时等号成立。
∴S的最小值为4，此时的直线方程为12x?y+2=0，即x?2y+4=0。
(3)点P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，
当PM⊥l时,d取得最大值,且为，
由直线PM的斜率为，
可得直线直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
即为3x+4y+2=0。
【点睛】
本题考查直线横过定点问题，考查利用基本不等式求最值，以及数形结合思想方法，是中档题．
20．已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）a=3；（2）P().
【解析】
【分析】
(1)
根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值．
(2)
根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍．
【详解】
(1)l2的方程即为，
∴l1和l2的距离d=，∴.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线
l′:2x-y+c=0上，且,即c=或c=.
∴2x0-y0+或2x0-y0+.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.
联立方程2x0-y0+和x0-2y0+4=0，解得x0=-3,y0=,应舍去.
由2x0-y0+与x0-2y0+4=0联立，解得x0=,y0=.
所以P()即为同时满足三个条件的点.
【点睛】
本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题．
试卷第1页，总3页
