人教版A版高中数学必修二1.1.2简单组合体的结构特征
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案.
【详解】
三棱锥中，两两垂直，则
答案为D
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键.
2．已知下列命题，其中正确命题的个数是（
）
①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆锥的几何特征判断①的真假;根据圆台的几何特征判断②的真假;根据旋转体的几何特征判断③的真假;根据圆台的几何特征判断④的真假，即可得到答案.
【详解】
对于①:以直角三角形的斜边为轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥,而是两个同底的圆锥构成的组合体,故①错误；
对于②:以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周得到的旋转体不是圆台,故②错误;
对于③:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆,故③正确;
对于④:用一个平行于底面的平面截一个圆锥得到的是一个圆锥和一个圆台,故④错误;
故选:B
【点睛】
本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的结构特征;考查学生的空间想象能力;熟练掌握简单几何体的结构特征是求解本题的关键;属于基础题、概念辨析题.
3．下列命题中正确的个数是（
）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
举反例说明①③不正确；②是多面体的定义，正确；由棱锥的结构特征说明④错误.
【详解】
解：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确；
②中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，故②正确；
③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确；
④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，
如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，故④不正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查棱柱、棱锥和多面体的定义及结构特征，通过举反例说明某个命题的正确性是一种常用的方法，属于中档题.
4．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图所示几何体的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
A.是一个圆锥以及一个圆柱;
C.是两个圆锥;
D.
一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.
5．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为（
）
A．一个圆台
B．两个圆锥
C．一个圆柱
D．一个圆锥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，即可求解.
【详解】
由题意，根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，故选B.
【点睛】
本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.
6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能是( )
A．①③④
B．②④
C．①②③
D．②③④
【答案】C
【解析】
考虑过球心的正方体截面位置的可能情形．当截面平行于正方体的一个侧面时得③，
当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①，
但无论如何都不能截出④
故选C
点睛：本题主要考查了球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
7．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．
【详解】
根据几何体的直观图，得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，
且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；
顶点是M、A、B、C、D和N共6个；
且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．
所以选项A、B、C正确，选项D错误．
故选D．
【点睛】
本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．
8．已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论．
【详解】
由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1∩面A1BD＝O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E=r，则，由O1E∥O2F知，则圆柱的高为，
当且仅当r=取等号．
故选A．
【点睛】
本题考查求圆柱侧面积的最大值，考查正方体与圆柱的内切问题，考查学生空间想象与分析解决问题的能力，属于中档题．
9．已知四面体中，，,，为其外接球球心，与所成的角分别为．有下列结论：
①该四面体的外接球的表面积为②该四面体的体积为
③④
其中所有正确结论的编号为：（
）
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】A
【解析】
【分析】
把四面体补成长方体，结合长方体的性质可求.
【详解】
依题意，把四面体补成长方体，如图，设长方体的长、宽、高分别为，则
，解得；
由于四面体的外接球就是长方体的外接球，所以易得该四面体的外接球的表面积为；该四面体的体积等于长方体的体积去掉三个三棱锥的体积，易求体积为；四面体的外接球的球心是长方体体对角线的中点，所以分别等同于长方体的体对角线与所成的角，易求；
结合选项可知选A.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查四面体的性质，把四面体补成长方体，使其位置关系或者度量关系更加清晰，是求解这类问题的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养．
10．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为3，，，分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，则平面截球所得截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
是底面的中心，则在上，而由得，与平面交于点，是过平面的截面圆圆心，在中由勾股定理求得，再由截面圆性质可求得截面圆半径．
【详解】
如图，是底面的中心，则在上，而由得，设，则，又，是中心，则，∴由得，解得，设与平面交于点，∵分别是的中点，则是的中点，∴，，设平面截球所得截面圆半径为，则，∴此圆面积为．故选A．
【点睛】
本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．
二、填空题
11．长方体的顶点都在同一球面上，且，，
，则该球的半径是________.
【答案】3
【解析】
【分析】
长方体的对角线是外接球的直径，由此可求得球半径，．
【详解】
长方体对角线长为，所以半径为．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查长方体的外接球．由长方体的性质知长方体的对角线是其外接球的直径．
12．自球面上一点作球两两垂直的三条弦，球的半径为，则=______
【答案】
【解析】
【分析】
利用补体法可求的值.
【详解】
如图，以为棱构造长方体.
则长方体为球的内接长方体，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查与组合体有关的线段的平方和的计算，注意根据三条线段交于一点且两两垂直构建长方体，此题属于基础题.
13．体积为的三棱锥的每个顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据球的直径为PC的长，即为补成的长方体的体对角线的长，再根据平面，，，，求得，再由，利用基本不等式求解.
【详解】
如图所示：
因为平面，，，
所以，
解得，
设外接球的半径为，球的直径为PC的长，
则，
当且仅当时，取等号.
所以.
所以球的表面积的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查球有关的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
【答案】共26个面.
棱长为.
【解析】
【分析】
第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．
【详解】
由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，即该半正多面体棱长为．
【点睛】
本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．
15．一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线；三种情况得到答案.
【详解】
当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；
当截面过正方体的体对角线时得（2）；
当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；
但无论如何都不能截出（4）.
答案：（1）（2）（3）.
【点睛】
本题考查了截面图形，漏解是容易发生的错误.
三、解答题
16．如图，说出图中两个几何体的结构特征.
(1)
(2)
【答案】（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.（2）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
【解析】
【分析】
逐一分析组合体是由哪些柱体、锥体或台体构成的.
【详解】
(1)
由圆锥和圆台组合而成的简单组合体
(2)
由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
【点睛】
本题考查组合体的构成情况，考查组合体结构特征，属于基础题.
17．试指出图中组成各几何体的基本元素.
【答案】（1）几何体由6个顶点、12条棱和8个面组成（2）几何体由6个顶点、10条棱和6个面组成
【解析】
【分析】
由组成空间几何体的基本元素为点、线、面可作答.
【详解】
(1)
是由两个四棱锥组成的，有6个顶点、12条棱和8个面组成.
(2)是由两个锥体组合而成，有6个顶点、10条棱和6个面组成.
【点睛】
本题考查对空间几何体的基本元素的认识，属于基础题.
18．如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
确定旋转直线，根据其余各边与旋转直线的关系，结合圆柱、圆锥、圆台定义，即可求出结论.
【详解】
以边AD所在直线为轴旋转，形成的几何体是一个圆台，
如图（1）所示.
以边AB所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由
一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体，如图（2）所示.
以边CD所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由
一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体，如图（3）所示.
以边BC所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由
一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后再和一个同底（下底面）
圆锥拼接而成的组合体，如图（4）所示.
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
本题考查旋转组合体，要掌握常见简单旋转体的结构特征，并能与组合体的结构特征进行恰当联系，实现“化未知为已知”
19．一个三棱柱可以分制成几个以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥？试在如图所示的三棱柱中设计出分割方案．（请用尽可能多的方法）
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据三棱柱的结构特征，一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，即可求解，得到答案.
【详解】
一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，可以有以下六种方案供选择.
【点睛】
本题主要考查了三棱柱和三棱锥的结构特征，其中解答中正确把握三棱柱和三棱锥的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.
20．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处，回答下面的问题.
（1）若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；
（2）若女孩向点前行到达点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状.
【答案】（1）人影扫过的图形是一个圆环，（2）女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形
【解析】
【分析】
（1）人影扫过的图形是一个圆环，根据相似计算得到影长为，再计算面积得到答案.
（2）如图所示，女孩在移动过程上比例关系不变，故轨迹为正方形.
【详解】
（1）人影扫过的图形是一个圆环，设影长，如图（1），由题意知，
，.
（2）如图（2），女孩在移动过程上比例关系不变，如
，
故女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形.
【点睛】
本题考查了轨迹方程，意在考查学生的空间想象能力和应用能力.人教版A版高中数学必修二1.1.2简单组合体的结构特征
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为(
)
A．
B．
C．
D．
2．已知下列命题，其中正确命题的个数是（
）
①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．下列命题中正确的个数是（
）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
A．0
B．1
C．2
D．3
4．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图所示几何体的是(
)
A．
B．
C．
D．
5．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为（
）
A．一个圆台
B．两个圆锥
C．一个圆柱
D．一个圆锥
6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能是( )
A．①③④
B．②④
C．①②③
D．②③④
7．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
8．已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知四面体中，，,，为其外接球球心，与所成的角分别为．有下列结论：
①该四面体的外接球的表面积为②该四面体的体积为
③④
其中所有正确结论的编号为：（
）
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
10．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为3，，，分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，则平面截球所得截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．长方体的顶点都在同一球面上，且，，
，则该球的半径是________.
12．自球面上一点作球两两垂直的三条弦，球的半径为，则=______
13．体积为的三棱锥的每个顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积的最小值为_________.
14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
15．一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______.
三、解答题
16．如图，说出图中两个几何体的结构特征.
(1)
(2)
17．试指出图中组成各几何体的基本元素.
18．如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.
19．一个三棱柱可以分制成几个以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥？试在如图所示的三棱柱中设计出分割方案．（请用尽可能多的方法）
20．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处，回答下面的问题.
（1）若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；
（2）若女孩向点前行到达点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状.
