人教版A版高中数学必修二1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面
C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内
2．用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3．圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的母线长()
A．
B．
C．
D．12
4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是
(
)
A．四边形
B．三角形
C．五边形
D．六边形
5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
6．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周长为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺.”（注：丈等于尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（
）
A．丈尺
B．丈尺
C．丈尺
D．丈尺
7．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（
）
A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为
8．如图，在正三棱柱中，,，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为()
A．
B．
C．
D．
9．已知正方体的棱长为3，，分别为，上的点，且，，，分别为，上的动点，则折线长度的最小值为（
）
A．3
B．
C．
D．
10．在长方体中，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知，，三点在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则球的表面积为____.
12．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为________.
13．已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若点是弦的中点，则四边形的面积的最大值为__________．
14．已知正三棱锥每个顶点都在球的球面上，球心在正三棱锥的内部．球的半径为，且．若过作球的截面，所得圆周长的最大值是，则该三棱锥的侧面积为_______．
15．如图，正四面体A﹣BCD的棱长为a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为_____.
三、解答题
16．如图所示的几何体中，四边形是边长为3的正方形，，，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图形中画出截面.
17．已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆.
（1）若，求圆的面积；
（2）若圆的面积为，求.
18．圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
19．小明设计了一款正四棱锥形状的包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒，设正四棱锥底面正方形的边长为.
（1）试用表示该四棱锥的高度，并指出的取值范围；
（2）若要求侧面积不小于，求该四棱锥的高度的最大值，并指出此时该包装盒的容积.
20．在正三棱台中，已知，棱台一个侧面梯形的面积为，分别为上、下底面正三角形的中心，连接，并延长，分别交，于点，，，求上底面的边长.人教版A版高中数学必修二1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面
C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内
【答案】D
【解析】
【分析】
利用圆柱的定义判断；利用棱柱的定义判断；利用圆锥母线的定义判断；利用球体的性质判断.
【详解】
在中，将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故错；
在中，长方体中两个相互平行的平面不一定是棱柱的底面，故错误；
在中，两点确定一条直线，圆锥过圆锥侧面上的一点只有一条母线，故错误；
在中，球面上四个不同的点有可能在同一平面内，故正确，故选D．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查圆柱、棱柱、圆锥、球等基础知识，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，考查了空间想象能力，属于中档题．
2．用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切
【详解】
当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形
故选：D
【点睛】
本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题
3．圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的母线长()
A．
B．
C．
D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆台的上底面半径为，根据面积比可知下底面半径为；利用圆台的轴截面面积构造关于的方程，求得后，利用即可得到结果.
【详解】
设圆台的上底面半径为，则其下底面半径为
可作圆台的轴截面如下图所示：
其中，，
，，
轴截面面积
解得：
母线长
本题正确选项：
【点睛】
本题考查圆台母线长的求解问题，关键是能够利用圆台轴截面面积构造方程求出上下底面半径，属于基础题.
4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是
(
)
A．四边形
B．三角形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.
5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【详解】
根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，
而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，
当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，
当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，
故有8+4+4=16
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．
6．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周长为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺.”（注：丈等于尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（
）
A．丈尺
B．丈尺
C．丈尺
D．丈尺
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长尺，另一条直角边长（尺），利用勾股定理，可得结论．
【详解】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长尺，另一条直角边长（尺），
因此葛藤长的最小值为（尺），即为丈尺.
故选：C.
【点睛】
本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．
7．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（
）
A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为
【答案】C
【解析】
【详解】
设侧棱长是，
底面的变长是，点到对角线的距离即为直角三角形斜边上的高，，点到平面的距离分别即为直角三角形斜边上的高，
若侧棱的长小于底面的边长，
即，
A,B错误；
若侧棱的长大于底面的边长，
即，
选C
8．如图，在正三棱柱中，,，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为()
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正三棱柱的特征可知为等边三角形且平面，根据可利用勾股定理求得；把底面与侧面在同一平面展开，可知当三点共线时，取得最小值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.
【详解】
三棱柱为正三棱柱
为等边三角形且平面
平面
把底面与侧面在同一平面展开，如下图所示：
当三点共线时，取得最小值
又，，
周长的最小值为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.
9．已知正方体的棱长为3，，分别为，上的点，且，，，分别为，上的动点，则折线长度的最小值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将折线化归到同一平面中，利用两点间的距离最短，即可求得答案.
【详解】
将折线所在平面展成平面图形，如图所示：
因为正方体的棱长为3，且，，
所以均为对角线上的三等分点，作分别与正方形的边平行，
所以，所以，
所以折线长度的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查立体几何中折线段的最小值问题，考查降维思想的应用，考查转化与化归思想和运用求解能力，求解的关键是将空间问题转化为平面问题.
10．在长方体中，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点A作，连接，首先证明平面平面，即可得为与平面所成的角，进而可得，，由基本不等式得，从而可求出截面面积的最小值.
【详解】
如图，过点A作，连接
∵平面，
∴，
∴平面，
∴，所以平面平面，
∴为与平面所成的角，
∴，
在中，
∵，∴，
在中，由射影定理得，
由基本不等式得，
当且仅当，即E为MN中点时等号成立，
∴截面面积的最小值为.
故选：B
【点睛】
本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式，是一道较综合的题.
二、填空题
11．已知，，三点在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则球的表面积为____.
【答案】
【解析】
【分析】
设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．
【详解】
解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，
∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，
∴得r2r2＝，得r2．
球的表面积S＝4πr2＝4ππ．
故答案为．
【点睛】
本题考查球O的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．
12．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱与圆锥轴截面面积相等计算出两几何体底面半径之比，然后利用锥体和柱体的体积公式可计算出这两个几何体的体积之比.
【详解】
设圆柱与圆锥的底面半径分别为、，高均为，圆柱和圆锥的体积分别为、，
则，，
所以，圆柱和圆锥的体积之比为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查圆柱和圆锥体积比的计算，涉及轴截面的计算，解题的关键就是计算出这两个几何体的底面半径之比，考查计算能力，属于基础题.
13．已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若点是弦的中点，则四边形的面积的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用球的性质可以推出，这样可以得到,同理，这样求出四边形的面积的最大值.
【详解】
如下图所示：点是弦的中点，
，
又因为,
当且仅当时，等号成立，
同理当且仅当时，等号成立，因此四边形的面积的最大值为2.
【点睛】
本题考查了球的性质.重点考查了重要不等式，关键是构造直角三角形，得到两线段长度的平方和是定值.
14．已知正三棱锥每个顶点都在球的球面上，球心在正三棱锥的内部．球的半径为，且．若过作球的截面，所得圆周长的最大值是，则该三棱锥的侧面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意，该球的大圆的周长为8π，可得R＝4，
BC=6．设底面BCD的中心为E，连接BE并延长交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中应用勾股定理得到OE．可得三棱锥的高AE＝AO+OE．所以由勾股定理得到三棱锥的斜高AF
．求侧面积即可．
【详解】
依题意，该球的大圆的周长为8π，所以2πR＝8π，得R＝4，
如图，正三棱锥A﹣BCD中，设底面三角形BCD的中心为E，则AE⊥平面BCD，
设F为CD的中点，连接BF，AF，则E是BF的三等分点，且AF是三棱锥的侧面ACD的斜高．
根据正三棱锥的对称性，球心O在AE上．
所以BC6．
则BE2．EF，
又因为三角形OBE为直角三角形，所以OE2．
所以三棱锥的高AE＝AO+OE＝4+2＝6．
所以三棱锥的斜高AF．
该三棱锥的侧面积为S侧＝339．
故填：．
【点睛】
本题考查了正三棱锥的结构特征，正三棱锥的外接球，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．
15．如图，正四面体A﹣BCD的棱长为a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设圆心为P，内切球的球心为O,内切球的半径为r，作平面,则为底面三角形的中心,由OP⊥AM，可得,,利用相似比求出,利用四面体中的几何关系求出r，再由截面圆的性质可知,所求截面圆的半径求解即可.
【详解】
作图如下:
根据题意知,平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，
设圆心为P，内切球的球心为O，
作平面,则为底面三角形的中心,
在等边三角形中,,
在中,由勾股定理知,
,
由图可知,为四面体外接球的半径,设,
在中,由勾股定理可得,
,解得，
所以正四面体A﹣BCD的内切球半径为
,
因为OP⊥AM，,所以，
又因为，
由AM2＝NM2+AN2可得AM，
所以，即,解得OP，
∴平面AEF截该正四面体的内切球所得截面圆半径r1，
平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为，
故答案为:
【点睛】
本题考查球与几何体的切、接问题及旋转体的截面问题；重点考查学生的空间想象能力;属于难度较大型试题.
三、解答题
16．如图所示的几何体中，四边形是边长为3的正方形，，，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图形中画出截面.
【答案】几何体不是棱柱;截去的部分是一个四棱锥;作图见解析
【解析】
【分析】
判断一个几何体是不是棱柱，要从棱柱的结构特征出发进行推理和判断.
【详解】
这个几何体不是棱柱.因为没有平行的两个平面.
在四边形中，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，则过点的截面将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱，其侧棱长为2.截去的部分是一个四棱锥，如图所示.
【点睛】
本题主要考查棱柱的结构特征，棱柱是有两个面平行，其余相邻面的交线平行这两个典型特征，侧重考查概念辨析能力.
17．已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆.
（1）若，求圆的面积；
（2）若圆的面积为，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据球的性质，截面的圆心为中点，由已知，求出圆半径，即可求解；
（2）由的面积，求出圆半径，利用勾股定理，即可求出结论.
【详解】
（1）若，则
故圆的半径
所以圆的面积
（2）因为圆的面积为，
所以圆的半径，
则
所以，所以，
所以
【点睛】
本题考查球的性质，注意截面圆半径、球心与截面圆圆心连线以及球半径关系，属于基础题.
18．圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
【答案】．
【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，得圆锥的轴截面，正方体对角面，如图所示．
设正方体棱长为，则，，
作于，则，，
∵，∴，即，
∴，即内接正方体棱长为．
考点：简单组合体的结构特征．
19．小明设计了一款正四棱锥形状的包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒，设正四棱锥底面正方形的边长为.
（1）试用表示该四棱锥的高度，并指出的取值范围；
（2）若要求侧面积不小于，求该四棱锥的高度的最大值，并指出此时该包装盒的容积.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）设正四棱锥侧面等腰三角形高为，由正方形，可得，再由组成直角三角形，即可得到关系，进而求出的范围；
（2）利用（1）中关系，求出侧面积关于的函数，进一步求出满足条件的范围，可求出的最大值，即可求出结论.
【详解】
（1）设正四棱锥侧面等腰三角形高为，在正方形中，
，
在四棱锥中，，
，
，
；
（2）四棱锥的侧面积，
，解得，
，当时，
，
此时包装盒的容积为，
所以满足条件的四棱锥的高度的最大值为20，
此时该包装盒的容积为.
【点睛】
本题考查函数的应用问题、正方形和正四棱锥的性质、一元二次不等式、一次函数最值，意在考查直观想象、数学建模、数学计算能力，属于中档题,
20．在正三棱台中，已知，棱台一个侧面梯形的面积为，分别为上、下底面正三角形的中心，连接，并延长，分别交，于点，，，求上底面的边长.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，可设上底面边长为，利用题中所给侧面梯形面积列方程，求值即可.
【详解】
，，.
设上底面的边长为，则.
如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且.
，
在中，.
四边形的面积为，
，
即，
，故上底面的边长为.
【点睛】
本题考查正棱台几何性质，空间想象能力，计算能力，属于中等题型.
