2021年秋新高一（人教A版）数学集训营 导学案 第十讲：函数的最值Word无答案

第十讲：函数的最值
知识点一、函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M

存在x0∈I，使得f(x0)＝M
知识点二、函数最大值与最小值的意义
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的　　　 f(x)图象上最低点的　　　
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
二、例题解析
例1.1.已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
1.利用图象求函数最值的方法：
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；
(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
例2.1已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤:
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系:
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：
(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
例3.1港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤220时，求函数v(x)的解析式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．
解实际应用题的四个步骤:
(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.
(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.
(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).
(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
例3.2二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？
例3.3求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
例4.1(动轴定区间)已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
例4.2(动区间定轴)在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
练习题
练1.1函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1,0 B．0,2　　 C．－1,2　　 D．，2
练1.2设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
练1.3函数f(x)＝，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ．
练2.1已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
练2.2求函数f(x)＝x＋在[1,2]上的最值．
练3.1将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
练3.2二次函数f(x)=?3x2+3ax?2在(?∞,?4]上为增函数，则a的取值范围是_____．
练4.1设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
作业
选择题（5分/题）
1、若函数y＝x2＋2x＋2在闭区间[m,1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－1，＋∞) C．[－3,0] D．[－3，－1]
2、某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
二、填空题（5分/题）
3、函数f(x)＝的最大值为__________．
4、函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值是__________．
5、已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
6、已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题（10分/题）
7、已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
8、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f(x)的最小值．
9、设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．