2021年秋新高一（人教A版）数学集训营 导学案 第十一讲：函数的奇偶性1Word无答案

第十一讲：函数的奇偶性1
知识点一、函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 对于函数f(x)定义域内的任意一个x
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
知识点二、判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
知识点三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点
(1)定义域：奇、偶函数的定义域关于原点对称．
(2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)．
函数奇偶性的三个关注点
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合．
(3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数
二、例题解析
例1.1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
例2.1已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
例2.2将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.
例3.1如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
例3.2对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？
例3.3若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？
例3.4(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
(1)
(2)―→―→―→
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解
练习题
练1.1下列函数是偶函数的是(　　)
y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1]
练1.2下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)

A 　　　　　　 B C D
练2.1函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)
－1 B．0　　 　C．1 D．无法确定
练2.2若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.
练2.3下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3； ②f(x)＝|x|＋1； ③f(x)＝； ④f(x)＝x＋； ⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]
练3.1判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
练3.2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x3＋x2，则f(2)＝________.
练3.3若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
作业
选择题（5分/题）
1、已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
2、给定四个函数：①y＝x3＋；②y＝(x>0)；③y＝x3＋1；④y＝，其中是奇函数的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3、函数f(x)＝－x2的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
4、已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且它们都恒不为0，则f(x)·g(x)的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．不能确定
5、设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
6、已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
二、填空题（5分/题）
7、若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝__________.
8、设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.
9、已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(－2a－3≤x≤1)是偶函数，则a＝________，b＝________.
10、已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
三、解答题（10分/题）
11、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R； (2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|； (4)f(x)＝
12、已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
13、已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．

14、已知f(x)＝(m2－1)x2＋(m－1)x＋n＋2，问m，n为何值时，f(x)为奇函数？
15、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，求f(6)的值．