1.1 集合的概念-2021-2022学年高一上学期数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）
1.1课时
集合的概念
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为
A．
B．
C．
D．
2．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18
B．17
C．16
D．15
3．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（
）
①;②;③;④
A．4
B．3
C．2
D．1
6．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（　　）
A．-3或-1或2
B．-3或-1
C．-3或2
D．-1或2
7．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　)
A．-1
B．1
C．0
D．±1
8．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为
A．
B．
C．
D．
10．设集合，则下列表述不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．下列各组中的M，P表示同一集合的是（
）
A．M={3，-1}，P={(3，-1)}
B．M={(3，1)}，P={(1，3)}
C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1}
D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}
12．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A．
B．
C．
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．用列举法表示集合__________．
14．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
15．已知关于的不等式的解集为.若,则实数的取值范围是__________．
16．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知集合.
（1）试分别判断，，与集合A的关系；
（2）设，证明.
18．已知集合，
（1）求证：任何奇数都是中的元素；
（2）判断偶数是否为的元素？请说明理由；
（3）求证：属于的两个元素之积仍属于；
（4）试求中第个正整数.
19．已知集合，其中为常数，且．
（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
20．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组
的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
21．集合是由形如的数构成的，试分别判断，，与集合的关系.
22．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
参考答案
1．D
【解析】由题意可知：当时，集合
∴所有的偶子集为：，，，，
∴当时，集合所有的偶子集的容量之和为
故选D
2．B
【解析】（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有7个元素；
（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；
（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；
∴集合M的元素个数是7+8+2=17．
故答案为：B．
3．B
【解析】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，.
故选：B.
4．C
【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.
综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.
故选：C
5．C
【解析】①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得
，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而
，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
6．C
【解析】
若1?a=4，则a=?3，∴a2?a+2=14，∴A={2,4,14}；
若a2?a+2=4，则a=2或a=?1，检验集合元素的互异性：
a=2时，1?a=?1，∴A={2,?1,4}；
a=?1时,1?a=2(舍)，
本题选择C选项.
7．B
【解析】由题意，当时，，
令代入，则，
则，则，
即，所以，故选B.
8．A
【解析】由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
9．AD
【解析】方程组的解集为有序数对，列举法表示为，描述法表示为或.
故选
10．AC
【解析】解：集合，，
，，，，．
∴AC选项均不正确，BD选项正确．
故选：AC．
11．CD
【解析】在A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；
在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正确；
在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M，P表示同一集合，故正确．
故选：CD
12．ABD
【解析】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
13．
【解析】因为且
所以可以取，2，3，4.
所以
故答案为：
14．
【解析】由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，
故这样的集合有：、、、、、，共个.
故答案为：.
15．或
【解析】若3∈M，则有0，①
若5?M，则有0或25﹣a＝0②
联立①②可得：或；
故答案为或．
16．3
【解析】
∵，且，∴或，即或或，当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当时，满足题意，∴，故答案是3.
17．（1），，；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：，因为，所以；
，因为，但，所以；
，因为，所以.
（2）证明：因为，
所以可设，，且，
所以
.
因为，
所以.
18．（1）证明见解析；（2）数字不是集合中的元素；答案见解析；（3）证明见解析；（4）.
【解析】解：（1）由奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素.
（2）分析集合的性质，可得，当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数；当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，所以或为偶数，或为的倍数，因此数字不是集合中的元素；
（3）不妨任意取，则，所以
，因为，，所以可知属于集合的两个元素之积仍属于集合；
⑷由⑴、⑵、⑶可知相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，则这个数中有个是集合的元素，而分析，故中第个正整数应该是.
19．（1）；（2）
【解析】解：（1），由，解得，满足题意，因此．
时，中至少有一个元素，，解得，．
综上可得：的取值范围是．
（2），由，解得，满足题意，因此．
时，中至多有一个元素，，解得．
综上可得：的取值范围是．
20．(1)
{－2，－1,0,1,2}(2)
M＝{2,3}(3)
B＝{(x，y)|(3,2)}
(4)
N＝{1,3,5,15}
【解析】(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程组得
；
(4)的正约数有四个数字，
．
21．，，
【解析】∵，而0，
，
，∵∴；∵，而13，，∴.
22．a＝0或1.
【解析】∵a∈A且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2.
又∵a是自然数∴a＝0或1.