1.3 集合的基本运算 -2021-2022学年高一上学期数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word含解析）

2021-2022学年高一数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）
1.3
集合的基本运算
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知全集，集合或，．若，则实数的取值范围为．
A．
B．
C．
D．
2．对于集合A，B，定义，.设，，则中元素的个数为（
）.
A．5
B．6
C．7
D．8
3．已知，，则的子集个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
4．用d（A）表示集合A中的元素个数，若集合A={0，1}，B={x|（x2-ax）（x2-ax+1）=0}，且|d（A）-d（B）|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d（M）=（　　）
A．3
B．2
C．1
D．4
5．已知集合，集合，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设全集，则与的关系是(　　)
A．
B．
C．
D．
7．已知集合，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
8．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知集合，集合，则集合可能为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知全集，集合或，集合，下列集合运算正确的是（
）
A．或或
B．或
C．或
D．或或
E.
11．已知，，且，则中的元素是（
）
A．-4
B．1
C．
D．
12．已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知集合，，若，则实数的值为___
14．设集合，则______．
15．满足条件
的集合的个数是__．
16．若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝，则m的取值范围是__．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．学校开运动会，设是参加跑的同学，是参加跑的同学，是参加跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（1）；
（2）．
18．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
19．设全集R，集合，.
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
20．已知集合A={y|y=x2-2x}，B={y|y=-x2+2x+6}．
（1）求A∩B．
（2）若集合A，B中的元素都为整数，求A∩B．
（3）若集合A变为A={x|y=x2-2x}，其他条件不变，求A∩B．
（4）若集合A，B分别变为A={(x，y)|y=x2-2x}，B={(x，y)|y=-x2+2x+6}，求A∩B．
21．已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
22．设集合B是集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N
的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”．求：
（1）集合A1的“和谐子集”的个数；
（2）集合An的“和谐子集”的个数．
参考答案
1．A
【解析】因为或，所以．
又，所以．
故选A．
2．C
【解析】由已知，
∴.
故选：C.
3．C
【解析】，表示函数图象上的点集，
，表示函数图象上的点集，
中的元素为和图象的交点，
联立得到，，所以有2个交点，
所以的元素个数为2，其子集个数为个，
故选:C.
4．A
【解析】解：由题意，|d（A）-d（B）|=1，d（A）=2，可得d（B）的值为1或3
若d（B）=1，则x2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x2-ax+1=x2+1=0无根，符合题意
若d（B）=3，则x2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x2-ax+1=x2+1=0无根，不合题意
故x2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a，所以x2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a2-4=0，解得a=±2
此时x2-ax+1=0为1或-1，符合题意
综上实数a的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d（M）=3．
故选：A．
5．D
【解析】且，则，.
若，则，可得，不合乎题意；
若，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
6．A
【解析】全集，则，所以
故选A
7．A
【解析】，，
所以．
故选：A.
8．B
【解析】
∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，
∴B?A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验当x＝或－时满足题意，故选B.
9．AD
【解析】因为，，所以集合可能为A选项，，D选项，
而对于B选项，此时，不满足题意，
对于C选项，此时，不满足题意，
故选：AD．
10．BCE
【解析】因为集合或，所以或或，
A错误；
因为，所以或，故B正确；
由或可得：或，故C正确；
由或或可得，或或，故D错误；
由可得：E正确.
故选：BCE.
11．ACD
【解析】解：因为，
所以有：①；②
解得：
所以，，.
故选：ACD.
12．BD
【解析】解：根据题意得，集合、、关系如图所示：
全集，集合、满足，
则，，，．
故选：BD．
13．
【解析】解：∵，，，
∴，且，
∴．
故答案为：．
14．
【解析】由题意，集合，
可得，所以.
故答案为：.
15．
【解析】因为，所以中最少有一个元素，最多有三个元素.
所以或，或，或；
满足条件的集合M的个数是4．
故答案为：．
16．m＞﹣4．
【解析】解：A∩R+＝知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，
若A＝，则＝（m
+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0
，①
若A≠，则＝（m
+2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，
又A中的元素都小于等于零
∵两根之积为1，
∴A中的元素都小于，
∴两根之和﹣（m
+2）＜0，解得m＞﹣2
∴m≥0，②
由①②知，m＞﹣4，
故答案为：m＞﹣4．
17．规定说明：；（1）是参加或参加跑的同学；（2）是参加且参加跑的同学.
【解析】每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，用集合运算说明为：
；
（1）由已知可得是参加或参加跑的同学；
（2）由已知可得是参加且参加跑的同学.
注：集合的并是“或”的关系，集合的交是“且”的关系.
18．（1）；（2）当时，；当时，；（3）.
【解析】（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时
＝9-8a＜0即a
所以的取值范围为
（2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当时，；当时，
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.
19．（1），或；（2）.
【解析】（1）∵，
∴，
∴或.
（2）由得，
又因为
所以，
解得.
所以实数的取值范围是
20．（1）A∩B={y|-1≤y≤7}；（2）A∩B={y|-1≤y≤7}；（3）A∩B={y|y≤7}；（4）A∩B={(3，3)，(-1，3)}．
【解析】（1）因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，
所以A={y|y≥-1}，
因为y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7，
所以B={y|y≤7}，
所以A∩B={y|-1≤y≤7}．
（2）由已知得A={y∈Z|y≥-1}，B={y∈Z|y≤7}，
所以A∩B={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}．
（3）由已知得A={x|y=x2-2x}=R，B={y|y≤7}，
所以A∩B={y|y≤7}．
(4)由得x2-2x-3=0，
解得x=3，或x=-1，所以或
所以A∩B={(3，3)，(-1，3)}．
21．（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或．
得或，即．
综上知，即实数的取值范围为．
22．（1）4；（2）.
【解析】解：（1）由题意有：A1＝，
则集合A1的“和谐子集”为：共4个，
故答案为：4；
（2）记An的“和谐子集”的个数等于an，即An有an个所有元素的和为3的整数倍的子集，
另记An有bn个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素的和为3的整数倍余2的子集
易知：a1＝4，b1＝2，＝2，
集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）
①集合集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共an个，
②仅含一个元素的“和谐子集”共an个，
同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共an个，
同时含三个元素的“和谐子集”共an个，
③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共cn个，
同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共cn个，
④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共bn个，
同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共bn个，
所以集合An+1的“和谐子集”共有an+1＝4an+2bn+2cn，
同理：bn+1＝4bn+2an+2cn，cn+1＝4cn+2an+2cn，
所以，所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
求得：an＝bn+2n，
同理an＝cn+2n，
又an+bn+cn＝23n，
解得：
故答案为：