2.1 等式性质与不等式性质 -2021-2022学年高一上学期数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word含解析）

2021-2022学年高一数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）
2.1
等式性质与不等式性质
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知满足则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．已知那么下列命题中正确的是
A．若,则
B．若,则
C．若且,则
D．若且，则
3．四个条件:;;;中,能使成立的充分条件的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
4．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（
）
A．3枝康乃馨价格高
B．2枝玫瑰花价格高
C．价格相同
D．不确定
5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（
）
A．<
B．a2>b2
C．>
D．a|c|>b|c|
6．已知，R，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，下列命题正确的是（
）
A．若，
则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(　　)
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
D．M≤－5
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
11．设、为正实数下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
E.若，则
12．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知实数满足，且，则在四个数，，，中，最小的一个数是____________．
14．设为正实数，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有______．
15．已知，则的大小关系是________．(用“”连接)
16．设，，，则P与Q的大小关系是P______Q.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．设关于x的不等式且.
（1）解此不等式；
（2）若此不等式的解集为，求k的值；
（3）若是不等式的解，求k的取值范围.
18．已知n个互不相等的正分数：、、、，且，，求证：在=，=之间.
19．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
20．设，为实数，比较与的大小．
21．有A、B两种型号台灯，若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元，若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元．
（1）求A、B两种型号台灯每台分别多少元？
（2）采购员小红想采购A、B两种型号台灯共30台，且总费用不超过2200元，则最多能采购B型台灯多少台？
22．设绝对值小于1的全体实数构成集合S，在S中定义一种运算“
”，使得，求证：如果a，，那么.
参考答案
1．A
【解析】设
比较的系数，得从而解得
即，
由题得，
两式相加，得.
故选A.
2．C
【解析】A中，当时,不成立，故A错误；
B中，当时,，故B错误；
C中，若,则,∴，故C正确；
D中，当时，满足且，但是不满足，故D错误；
综上所述，只有选项C的说法正确.
故选C.
3．C
【解析】由题意,时,,∴;
时,,∴;
时,,,∴;
时,,∴
从而能使成立的充分条件的个数是3个
故选C.
4．B
【解析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.
所以2枝玫瑰的价格高.
故选：B
5．C
【解析】当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但，a2因为>0，a>b?，故C是正确的；
当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C.
6．C
【解析】当时：，故A错误；
，故B错误；
，故D错误；
当时，；当时，，即，则；
所以有，故C正确
故选：C
7．D
【解析】对于A中，由，则，此时的正负号不能确定，所以不正确；
对于B中，由，则，此时的正负号不能确定，所以不正确；
对于C中，例如，此时，所以不正确；
对于D中，由，根据不等式的性质，可得，所以是正确的.
故选：D.
8．A
【解析】M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0，
故M>－5.
选A
9．AC
【解析】解：选项A：因为，所以，不等式两侧同时乘以，所以，故A正确；
选项B：因为，所以，所以，即，又，所以不等式两侧同时乘以，则，故B错误；
选项C：因为，所以，根据不等式的同向可加性知，故C正确；
选项D：当，时，此时，，故D错误.
故选：AC
10．AD
【解析】对于A选项，由，为正实数，且，可得，所以，
所以，
若，则，可得，这与矛盾，故成立，所以A中命题为真命题；
对于B选项，取，，则，但，所以B中命题为假命题；
对于C选项，取，，则，但，所以C中命题为假命题；
对于D选项，由，则，
即，可得，所以D中命题为真命题.
故选AD.
11．AD
【解析】对于A，若，为正实数，则，故，若，则，这与矛盾，故成立，所以A正确；
对于B，取，，则，但，所以B不正确；
对于C，取，，则，但不成立，所以C不正确；
对于D，，即，所以D正确；
对于E，取，则，所以E不正确.故选AD.
12．BC
【解析】解：，
A错误，比如，，不成立；
B，成立；
C，由，
故C成立，
D，，故D不成立，
故选:BC.
13．.
【解析】因为，且，
先比较与的大小，
采用作差法，，故；
再比较与的大小，因为，所以同时平方再作差可得：
，故；
再比较与大小，同时平方变形为与，因为，不妨令，，则相当于比较与大小，采用作差法得，故；
综上所述，最小的数为
故答案为：
14．①④
【解析】对于①，，
若，因为正实数，所以，那么，
则，不可能成立，所以，
①正确；
对于②，，则，取特殊值，可以验证②错误；
对于③，取特殊值，可以验证③错误；
对于④，，
由作差法，，所以④正确．
故正确答案为：①④.
15．
【解析】由题意不妨取，
这时.
由此猜测：下面给出证明：
，
又
,.
又∵，，
又∵，
综上所述，.
故答案为：.
16．
【解析】
，
故答案为：
17．（1）见解析；（2）5；（3）
【解析】（1）原不等式可化为，
即.
当时，；
当时，；当时，；
综上，当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
（2）由题意得，
解不等式组，得或（舍去），
所以；
（3）将代入原不等式得解得，
即，等价于，解得，
所以k的取值范围是.
18．证明见解析
【解析】设，则，即，
从而，
同理可设，得，
综上所述，.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.
【解析】（1）因为，且，所以，所以.
（2）因为，所以．又因为
，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以，
因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以，
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以.
所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意.
20．见解析
【解析】解：
，当且仅当时同时取等号
，当且仅当时取等
21．（1）50、85元；（2）20台．
【解析】（1）解：设A、B两种型号台灯每台分别x、y元，依题意可得：，
解得：，答：
A、B两种型号台灯每台分别50、85元．
（2）解：设能采购B型台灯a台，依题意可得：，解得：．
答：最多能采购B型台灯20台．
22．证明见解析
【解析】由题意，绝对值小于1的全体实数构成集合S，
因为，，所以，，可得，，
则，，所以，即，
所以，即，
所以，即，所以.