2.2 基本不等式 -2021-2022学年高一上学期数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word含解析）

2021-2022学年高一数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）
2.2
基本不等式
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　
A．，
B．，
C．
D．
2．若正数x，y满足，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
3．已知，那么函数的最小值是（
）
A．5
B．6
C．4
D．8
4．若，，，则下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则　(　　)
A．ab≤
B．ab≥
C．a2+b2≥2
D．a2+b2≤3
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．设正实数a，b满足a+b＝1，则（
）
A．有最小值4
B．有最大值
C．+有最大值
D．a2+b2有最小值
10．设，且，，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（
）
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损
12．下列说法中正确的有（
）
A．不等式恒成立
B．存在a，使得不等式成立
C．若，则
D．若正实数x，y满足，则
三、填空题。本大题共4小题。
13．设x，y均为正数，且xy+x-y-10=0，则x+y的最小值是_______.
14．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______．
15．已知正实数x，y满足，且，则的最小值为______．
16．当时，的最小值为___________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知，求下列问题：
（Ⅰ）若，求的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若，求的取值范围．
18．已知，且，求
（1）的最小值；
（2）的最小值．
19．已知正实数x，y满足．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知正实数，满足，求的最小值.
21．设，且恒成立，求实数的取值范围.
22．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
参考答案
1．D
【解析】正实数，满足，
，
当且仅当即且时取最小值8，
恒成立，，
解关于的不等式可得
故选：．
2．D
【解析】∵x，y均为正数，，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴，所求最大值为．
故选：D．
3．B
【解析】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．
故选：B．
4．B
【解析】对于A，因为，所以，所以A不正确；
对于B，若，设，得，
所以
当且仅当时，等号成立，所以B正确；
对于C，因为，由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以C不正确；
对于D，由上面可知，则，得，所以D不正确；
故选：B
5．D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
6．B
【解析】解：由题意得，，则，
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故选：B
7．C
【解析】
选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2?a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.
8．D
【解析】由图形可知：，，
在直角中，由勾股定理可得：
，
，
，．
故选：D
9．ABCD
【解析】正实数，满足，即有，可得，
即有，即有时，取得最小值4，无最大值，A正确；
由可得，可得时，有最大值，B正确；
由，可得时，取得最大值，C正确；
由可得，则，当时，取得最小值，D正确．
故选：ABCD．
10．BD
【解析】解：由基本不等式可得，，∴，
又，
∴，所以，
所以A错B对C错D对，
故选：BD.
11．AD
【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；
设该单位每月获利为S元，
则，
因为，
所以.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，
故选：AD
12．BCD
【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；
当a为负数时，不等式成立.故B正确；
由基本不等式可知C正确；
对于，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD.
13．
【解析】由xy+x-y-10=0，得=，
故，当且仅当，即y=2时，等号成立．
故答案为：.
14．
【解析】已知，
由得，即，
令，
所以，所以，
故
，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：．
15．
【解析】解：正实数x，y满足，且
所以，即，也即
则
当且仅当，即，则时取等号，
此时，所以取得最小值．
故答案为：．
16．
【解析】由，可得，则，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．（Ⅰ）8；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由，可得，
所以，
当且仅当时，即时取最大值.
（Ⅱ）由函数，且，
可得且，
令，
可得，解得，
即，
即的取值范围为.
18．（1）64；（2）18.
【解析】（1）由，可得，
又由，可得，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以的最小值为.
（2）由，得，
因为，可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19．（1）；（2）.
【解析】（1），解得，
当且仅当，取等号，
∴最大值为．
（2），
当且仅当，取等号，
∴，解得．
20．
【解析】因为，
所以，
所以，
，
所以，
当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为.
21．
【解析】由知，，.
原不等式等价于.
要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于即可.
当且仅当，即时，等号成立.
，即.
22．证明见解析
【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝
，
＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，
≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以＋＋>9.