2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 -2021-2022学年高一上学期数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word含解析）

2021-2022学年高一数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知关于x的方程的解集为非空集合，则k的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．
D．
2．若方程的两根都大于，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．对于实数和定义运算“”：=，设，如果关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
4．设函数，若对于任意的x∈{x|1
≤
x
≤
3}，恒成立，则实数m的取值范围为（
）
A．m≤0
B．0≤m<
C．m<0或0D．m<
5．已知正数，满足，则的最小值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,
f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(　　)
A．-1B．b>2
C．b<-1或b>2
D．不能确定
7．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（
）
A．0
B．
C．
D．
8．不等式的解集为，则函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知关于的不等式,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
E.不等式的解集可以是，或
10．不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（
）.
A．
B．
C．
D．
11．下列四个解不等式，正确的有（
）
A．不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式-6x2-x+2≤0的解集是或
C．若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7D．关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q，1)，则p+q的值为-1
12．已知函数（）有且只有一个零点，则（
）
A．
B．
C．若不等式的解集为（），则
D．若不等式的解集为（），且，则
三、填空题。本大题共4小题。
13．若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则式子的值是______．
14．已知集合,,若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是_______.
15．已知不等式的解集为，则的最小值为__________.
16．关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________
；
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．若不等式的解集是，求不等式的解集．
18．设函数．
（1）若不等式的解集，求，的值；
（2）若，
①，，求的最小值；
②若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”.如方程，，，，，都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程是不是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由.
20．已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若为真，为假，求的取值范围．
21．某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时~0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加．
22．（1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
（2）对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】当，即时，原方程为，
解得，故符合题意．
当，即时，，
解得且．
综上所述，．
故选：D．
2．D
【解析】设，
由题意得：，
解之得实数的取值范围为：.
故选：D
3．C
【解析】解：由已知a?b=得
，其图象如下：
因为恰有三个互不相等实根，
则与图像恰有三个不同的交点，
所以，
故选：C．
4．D
【解析】若对于任意的x∈{x|1
≤
x
≤
3}，恒成立
即可知：mx2－mx＋m－5
<
0在x∈{x|1
≤
x
≤
3}上恒成立
令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为
当m＝0时，－5
<
0恒成立
当m
<
0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减
∴在[1,3]上，得m
<
5，故有m
<
0
当m>0时，有g(x)
开口向上且在[1,3]上单调递增
∴在[1,3]上，得
综上，实数m的取值范围为
故选：D
5．A
【解析】设，
则
所以（当且仅当，即时取等号）
且，
解得：，
即
的最小值为
故选：A
6．C
【解析】
由f(1-x)=f(1+x)知,
f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有=1,故a=2.
由f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数,∴x∈[-1,1]时,
f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
本题选择C选项.
7．C
【解析】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
8．C
【解析】∵不等式的解集为，
∴，∴，
，图象开口向下，两个零点为．
故选：C．
9．BD
【解析】在A中,依题意得,且,解得,此时不等式为,解得,
故A错误；
在B中,取,,得,解集为,故B正确；
在C中,当时,,知其解集不为,C错误；
在D中,依题意得,且解得符合题意,
故D正确；
在E中,依题意得,且解得不符合题意,故E错误.
因此选BD.
故选：
10．BC
【解析】因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根且，
所以，，
所以,,
由，得,
得,
因为,所以,
所以或,
所以不等式的解集为或,
.故选BC.
11．BCD
【解析】解：对于A：，由得，
解得或，不等式的解集为．故A错误；
对于B，，，
，或．故B正确；
对于C：由题意可知和为方程的两个根．
，．故C正确；
对于D：依题意得，1是方程的两根，，即，故D正确．
故选：BCD．
12．ABD
【解析】因为（）有且只有一个零点，
故可得，即，
对A：等价于，显然，故正确；
对B：，故正确；
对C：因为不等式的解集为，
故可得，故错误；
对D：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，，
故可得，
故可得，故D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】因为，故可得，
由两根之和为，即可得，
解得，故方程的两根为2或，
故可得，
由，代值可得
.
故答案：.
14．
【解析】由“”
是“”的必要不充分条件知,B是A的真子集,
由题意可知,
，或,,因此.
故答案为：
15．8
【解析】由题知，则，
则=8，当且仅当，
即时取等号.故的最小值为8.
故答案为8
16．
【解析】由题意，当时，恒成立；
当时，有，解得，综上
故答案为.
17．
【解析】解：由已知条件可知，且方程的两根为，；
由根与系数的关系得解得．
所以原不等式化为解得
所以不等式解集为
18．（1）；（2）①9；②．
【解析】（1）由已知可得，的两根是，1
所以，解得．
（2）①
，
当时等号成立，
因为，，，解得，时等号成立，
此时的最小值是9．
②在上恒成立，
∴，
又因为代入上式可得
解得：．
19．（1）不是.理由见解析；（2）存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”，理由见解析
【解析】（1）不是.理由如下：
解方程得，，，
3.5不是整数，不是“偶系二次方程”.
（2）存在.理由如下：
解法一：和是“偶系二次方程”，
假设，当，时，，
是“偶系二次方程”，当时，，，
是“偶系二次方程”，
当时，，符合题意，可设.
对于任意一个整数，当时，，，
，，，是整数，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
解法二：由题可知，，，
假设对于任意一个整数，存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，则，
，
，
当时，，与题意不符，舍去；
当时，.
为任意一个整数，为整数，
设，则，，又，符合题意，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
20．（1）；（2）．
【解析】解：（1）对任意，不等式恒成立，
令，则，
当时，，即，解得．
因此，当为真命题时，的取值范围是．
（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，．
又∵，中一个是真命题，一个是假命题．
当真假时，由，得；
当假真时，有或，且，得．
综上所述，的取值范围为．
21．0.6元千瓦时
【解析】设新电价为元千瓦时，则新增用电量为千瓦时．依题意，有，
即，整理，得，
解此不等式，得或，又，
所以，，
因此，，即电价最低为0.6元千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加．
22．（1）{m|m<－5}；（2）{a|a<1}．
【解析】（1）令y＝x2＋mx＋4．∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2．
如图所示：
可得，∴m的取值范围是{m|m<－5}．
（2）∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立．
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.∵－1≤x≤1，∴x－2<0．∴.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1．故a的取值范围为{a|a<1}．