2021暑假初二升初三数学讲义北师大版-
第1讲：三角形的证明
知识讲解：
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°
；
等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）与直角三角形有关的结论：
勾股定理的逆定理；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)
（3）与一般三角形有关的结论：
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．
2．命题的逆命题及其真假
：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．
3．尺规作图
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．
课堂练习：
考点一：
等腰三角形
【例题】
1、等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（
）
A．19
B.23
C
.14
D.19或23
2、等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（
）
A．有一个内角是600
B.有一个外角是1200
C．有两个角相等
D.腰与底边相等
3、将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１
4、腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为
。
5、一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为 。
6、等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是
cm.
7、已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。
8、如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连结BE。
（1）求证：AD＝BE
（2）延长ＢＥ至Ｑ，Ｐ为BQ上一点，连结CP、CQ使CP=CQ=10，若ＢＣ＝１６时，求ＰＱ的长。
9、如图8，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
?（1）求证：AE=BC；
（2）如图8（2），过点E作EF∥BD交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到△AE'F'，连结CE',BF'，求证：CE'=BF'；
?（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE'∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由
【练习】1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（
）
A.
6个
B.
7个
C.
8个
D.
9个
2.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（
）
A.
2cm
B.
8cm
C.
2cm或8cm
D.
以上都不对
3.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．
.12
B．
.15
C．
.12或15
D．
.18
4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（
）
A．18°
B．24°
C．30°
D．36°
5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A
.4
B.5
C.6
D.8
6.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ）
A．
68°
B．
32°
C．
22°
D．
16°
7.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．
80°
B．
80°或20°
C．
80°或50°
D．
20°
8.若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
9.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
10.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ．
11.
如图，是等边三角形，，则的度数是________。
12.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
13、已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=
，CB=
．
考点二：
直角三角形
【例题】1．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（
）
2.如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是______cm2
3.如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，求AE的长．
4.如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E,F分别为AB,CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点处，折痕交AE于点G，则∠ADG=
，EG=_______
5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=1.5cm，则AD=________cm．
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D、E，你知道线段AD，DE，BE的关系吗？证明你的结论
7.如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2013）的直角顶点的坐标是______
8.如图，已知Rt中，,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线交于点O，连接OC,已知AC=5，OC=,则另一直角边BC的长为______.
【练习】1.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．
2.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
3.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．
3cm
B．
6cm
C．
cm
D．
cm
4.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
5.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（
）
7.如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）
8.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
cm．
9.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A．1种
B．
2种
C．3种
D.4种
10.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
第2题图
A．4dm
B．
2dm
C．
2dm
D．
4dm
11.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（ ）
12.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是
13.如图，△ABC中，，∠B=∠C，FD⊥BC
DE⊥AB，∠AFD=152°，则∠EDF=
14.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
15.如图，矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.连接，则图中全等的直角三角形共有（ ）．
（A）3对
（B）4对
（C）5对
（D）6对
考点三：
线段的垂直平分线、角平分线
【例题】
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D,AB=12cm，AC=6cm，则图中等于60°的角共有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2、下列命题中正确的命题有（
）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE____PF.
如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE,则∠BAP____∠CAP.
如图（3），∠BAC
=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=________.
（2）
（3）
4、如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_________.
5、如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交CB、AB于点M、N.求证：CM=2BM.
6、如图5，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N.
（1）求△AEN的周长
（2）求∠EAN的度数
（3）判断△AEN的形状
7、如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（
）
A、3
B、4
C、5
D、6
8、如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于点E，若CE=3，则BE的长是（
）
A、3
B、6
C、
D、
9、如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,
∠BAC=40°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（
）
A、50°
B、40°
C、35°
D、45°
10、如图6，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC,
∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则∠AEO=_________.
11、如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、FAE=AF
（1）求证：点P在∠BAC的角平分线上
（2）连接EF，AP，求证：直线AP垂直平分EF
12、如图，在等边三角形ABC中，是∠ABC的平分线BD上一点，E⊥AB于点E，线段B的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q，若BF=2，则E的长为（
）
A、2
B、
C、
D、
【练习】1.如图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
图3
2.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（
）
A.18
B.16
C.14
D.12
3、△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB角平分线交点，则∠BOC与∠A的关系是（
）
A、∠BOC
=2∠A
B、∠BOC
=180o-∠A
C、∠BOC
=90o+∠A
D、∠BOC=900+∠A
4.如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（
）
图4
A.2α－β
B.α－β
C.α+β
D.2α
5.如图6，设相邻两个角∠AOB、∠BOC的平分线分别为OM、ON，且OM⊥ON，求证：OA、OC成一条直线.
图6
6.如图7，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
图7
7.已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________.
8.底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上.
9.如图1，直线
l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点.
图1
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度.
11.下列作图语句正确的是（
）
A.过点P作线段AB的中垂线
B.在直线AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D.过点P作直线AB的垂线
12.△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（
）
A.37.5°
B.67.5°
C.37.5°或67.5°
D.无法确定
13.在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，求证：BC=m－a.
14.如图7，在△ABC中，
BC=12,∠BAC
=100°,AB的垂直平分线交BC边于点E,
AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1)
求△AEN的周长.
(2)
求∠EAN的度数.
15、如图，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90?，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD。2021暑假初二升初三数学讲义北师大版-
第1讲：三角形的证明
知识讲解：
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°
；
等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）与直角三角形有关的结论：
勾股定理的逆定理；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)
（3）与一般三角形有关的结论：
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．
2．命题的逆命题及其真假
：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．
3．尺规作图
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．
课堂练习：
考点一：
等腰三角形
【例题】
1、等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（
）
A．19
B.23
C
.14
D.19或23
2、等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（
）
A．有一个内角是600
B.有一个外角是1200
C．有两个角相等
D.腰与底边相等
3、将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１
4、腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为
。
5、一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为 。
6、等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是
cm.
7、已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。
8、如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连结BE。
（1）求证：AD＝BE
（2）延长ＢＥ至Ｑ，Ｐ为BQ上一点，连结CP、CQ使CP=CQ=10，若ＢＣ＝１６时，求ＰＱ的长。
9、如图8，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
?（1）求证：AE=BC；
（2）如图8（2），过点E作EF∥BD交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到△AE'F'，连结CE',BF'，求证：CE'=BF'；
?（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE'∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由
【答案】1、D
2.C
3.B
4.
5.700,400或550，550
6.
7.证明：
∵ＡＢ＝ＡＣ
∴∠B=∠C
∵DE∥AC
∴∠C=∠DEB
∴∠B=∠DEB
∴△ＤＢＥ是等腰三角形
8、（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE
(2)12
9.
【练习】1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（
）
A.
6个
B.
7个
C.
8个
D.
9个
2.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（
）
A.
2cm
B.
8cm
C.
2cm或8cm
D.
以上都不对
3.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．
.12
B．
.15
C．
12或15
D．
.18
4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（
）
A．18°
B．24°
C．30°
D．36°
5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A
.4
B.5
C.6
D.8
6.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ）
A．
68°
B．
32°
C．
22°
D．
16°
7.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．
80°
B．
80°或20°
C．
80°或50°
D．
20°
8.若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
9.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
10.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ．
11.
如图，是等边三角形，，则的度数是________。
12.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
13、已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= +1 ．
【答案】1.C。2.
B
3.B
4.A
5.C
6.B
7.B
8.5
9.
10.
6，4或5，5
11.750
12.证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
所以∠1＝∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点
（等腰三角形三线合一定理）
解答：
13.（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AB﹣AE，
∴BE=AB﹣BD，
∴AB﹣BD=CB．
如图（3）：BD﹣AB=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AE﹣AB，
∴BE=BD﹣AB，
∴BD﹣AB=CB．
（2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD?sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH=BD=×=1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH==，
∴CB=CH+BH=+1；
考点二：
直角三角形
【例题】1．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（
）
2.如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是______cm2
3.如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，求AE的长．
4.如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E,F分别为AB,CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点处，折痕交AE于点G，则∠ADG=
，EG=_______
5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=1.5cm，则AD=________cm．
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D、E，你知道线段AD，DE，BE的关系吗？证明你的结论
7.如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2013）的直角顶点的坐标是______
8.如图，已知Rt中，,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线交于点O，连接OC,已知AC=5，OC=,则另一直角边BC的长为______.
【答案】1.AD=10．
2.
（cm2）
3.解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，
又点E是CD的中点，
∵DE=CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE=FE，AD=FC．
∵AD=5，BC=10．
∴BF=5
在Rt△ABF中，，
∴AE=6.5．
4.
答案：15°，）cm
5．AD=4.5cm
6.证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∠DCA+∠ECB=180°-90°=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD，
即AD+BE=DE．
7.（8052，0）
8.答案：7
【练习】1.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．
2.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
3.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．
3cm
B．
6cm
C．
cm
D．
cm
4.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
5.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（
）
7.如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）
8.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
cm．
9.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A．1种
B．
2种
C．3种
D.4种
10.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
第2题图
A．4dm
B．
2dm
C．
2dm
D．
4dm
11.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（ ）
12.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是
13.如图，△ABC中，，∠B=∠C，FD⊥BC
DE⊥AB，∠AFD=152°，则∠EDF=
14.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
15.如图，矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.连接，则图中全等的直角三角形共有（ ）．
（A）3对
（B）4对
（C）5对
（D）6对
【答案】1. 8 2.OM=5．
3.
D
4.
BN=
4．
5．C
6.
CH=．
7.
cm
8.（3+3）cm．
9.
C
10.
A．
11.CD=
12.45°
13，
26°,
14.135
15.B
考点三：
线段的垂直平分线、角平分线
【例题】【2014年经开一中八下第一次月考】
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D,AB=12cm，AC=6cm，则图中等于60°的角共有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2、下列命题中正确的命题有（
）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE____PF.
如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE,则∠BAP____∠CAP.
如图（3），∠BAC
=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=________.
（2）
（3）
4、如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_________.
5、如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交CB、AB于点M、N.求证：CM=2BM.
6、如图5，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N.
（1）求△AEN的周长
（2）求∠EAN的度数
（3）判断△AEN的形状
7、如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（
）
A、3
B、4
C、5
D、6
8、如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于点E，若CE=3，则BE的长是（
）
A、3
B、6
C、
D、
9、如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,
∠BAC=40°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（
）
A、50°
B、40°
C、35°
D、45°
10、如图6，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC,
∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则∠AEO=_________.
11、如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、FAE=AF
（1）求证：点P在∠BAC的角平分线上
（2）连接EF，AP，求证：直线AP垂直平分EF
12、如图，在等边三角形ABC中，是∠ABC的平分线BD上一点，E⊥AB于点E，线段B的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q，若BF=2，则E的长为（
）
A、2
B、
C、
D、
【答案】
1、D
2、A
3、=、=、1
4、20cm
5、略
6、（1）12
（2）60°
（3）等边三角形
7、A
8、D
9、B
10、30°
11、略
12、C
【练习】1.如图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
图3
2.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（
）
A.18
B.16
C.14
D.12
3、△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB角平分线交点，则∠BOC与∠A的关系是（
）
A、∠BOC
=2∠A
B、∠BOC
=180o-∠A
C、∠BOC
=90o+∠A
D、∠BOC=900+∠A
4.如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（
）
图4
A.2α－β
B.α－β
C.α+β
D.2α
5.如图6，设相邻两个角∠AOB、∠BOC的平分线分别为OM、ON，且OM⊥ON，求证：OA、OC成一条直线.
图6
6.如图7，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
图7
7.已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________.
8.底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上.
9.如图1，直线
l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点.
图1
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度.
11.下列作图语句正确的是（
）
A.过点P作线段AB的中垂线
B.在直线AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D.过点P作直线AB的垂线
12.△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（
）
A.37.5°
B.67.5°
C.37.5°或67.5°
D.无法确定
13.在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，求证：BC=m－a.
14.如图7，在△ABC中，
BC=12,∠BAC
=100°,AB的垂直平分线交BC边于点E,
AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1)
求△AEN的周长.
(2)
求∠EAN的度数.
15、如图，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90?，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD。
【答案】1.MN⊥PQ
2.C
3.
D
4.A
5.证明：根据题意得：
∠AOM=∠MOB，∠BON=∠NOC
∠MON=90°
∴∠MOB+∠BON=90°
∴(∠AOM+∠MOB)+(∠BON+∠NOC)
=2×90°=180°
即∠AOB+∠BOC=180°
∠AOC=180°
∴AO、OC成一条直线
6.作MN⊥AD于N
∵DM平分∠ADC，MC⊥CD
∴CM=MN
∵CM=BM
∴MN=MB
∵MB⊥BA
∴AM平分∠DAB
7.PQ是线段AB的垂直平分线
8.无数
垂直平分线
9.AB的中垂线
10.40
50
11.D
12.C
13.AD=BD，AD+DC=BD+DC=AC=a，∴BC=m－a
14.提示与答案：（1）12.（2）∠AEN=2∠B，∠ENA=2∠C，因为∠B+∠C=80°所以∠AEN+∠ENA=160°所以∠EAN=20°
15.（1）AC＝4＋4
