2.1 锐角三角函数同步练习（含答案）
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第二章
直角三角形的边角关系
1
锐角三角函数
知识能力全练
知识点一
正切
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a5，b＝12，则tanB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝4，tanC＝，则BC＝（
）
A.8
B.8
C.7
D.7
3.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（
）
A.
B.
C.2
D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则tanB＝___________.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4
cm，tanB＝，求BC、AB的长.
识点二
坡度、坡角
6.如图所示，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30
m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（
）
A.75m
B.50m
C.30m
D.12m
7.下图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1:2，斜坡CD的坡比i＝1:1，若坡面CD的长度为6米，则斜坡AB的长度为（
）
A.4米
B.6米
C.6米
D.24米
8.下图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，垂足为D，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（
）
A.iAC＝2iAB
B.∠ACD＝2∠ABD
C.2iAC＝iAB
D.2∠ACD＝∠ABD
9.如图所示，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5
m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1
m处的D点离地面的高度DE＝0.6
m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3
m，则石坝的坡度为（
）
A.
B.3
C.
D.4
10.下图是一斜坡的横截面，小华沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上升了5米，那么该斜坡的坡度i＝__________.
知识点三
正弦、余弦
11.在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图所示），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（
）
A.
B.
C.m·cos∠1
D.m·sin∠1
12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
13.如图所示，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（
）
A.asinx＋bsinx
B.acosx＋bcosx
C.asinx＋bcosx
D.acosx＋bsinx
14.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cosA＝（
）
A.
B.
C.
D.
15.比较大小:sin81°_______tan47°（填“＜”“＝”或“＞”）.
16.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果BC＝3，AC＝4，那么cos∠BCD＝__________.
17.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝6，sinB＝，则△ABC的面积＝__________.
18.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为__________.
19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值
和正切值.
巩固提高全练
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（
）
A.
B.
C.
D.
21.sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是（
）
A.cos43°＞cos16°＞sin30°
B.cos16°＞sin30°＞cos43°
C.cos16°＞cos43°＞sin30°
D.cos43°＞sin30°＞cos16°
22.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（
）
A.
B.
C.
D.
23.如图所示，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（
）
A.
B.
C.2
D.
24.如图所示，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（
）
A.200tan70°米
B.米
C.200sin70°米
D.米
25.如图所示，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
26.如图所示，矩形ABCD的四个顶点分别在直线3，4，2，1上若直线1∥2∥3∥4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tana的值为（
）
A.
B.
C.
D.
27.如图所示，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG＝____________.
28.如图所示，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点.
（1）AB的长度为__________，CD的长度为___________；
（2）若AB与CD所夹锐角为aα，求tana的值.
29.问题呈现
如图①所示，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.
问题解决
（1）直接写出图①中tan∠CPN的值:__________；
（2）如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.
6.A
7.C
8.A
9.B
10.
11.A
12.B
13.D
14.D
15.＜
16.
17.8
18.
19.解析
由勾股定理，得AB＝＝13，
所以，，.
20.D
21.C
22.C
23.D
24.B
25.D
26.A
27.
28.解析
（1）AB＝，CD＝.
故分别填2；.
（2）取格点E，连接CE，使CE∥AB，取格点F，连接EF，使得EF⊥CD于点G，连接DE，DF，如图所示.
∵∠EDF＝∠EGD＝90°，∠GED＝∠DEF，∴△DEG∽△FED.
∴，即.
∴EG＝，DG＝.∴CG＝CD-DG＝.∴tan∠ECG＝.
∵AB∥CE，∴∠a＝∠ECG.∴tana＝.
29.解析（1）2
（2）如图，取格点D，连接CD，DM.
∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM.
易知△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠CDM＝45°.
∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝.
（3）如图，取格点Q，连接AQ、QN.
∵PC∥NQ，∴∠CPN＝∠ANQ.
易知△AQN是等腰直角三角形，∴∠ANQ＝∠QAN＝45°.
∴∠CPN＝45°.
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直角三角形的边角关系
1
锐角三角函数
知识能力全练
知识点一
正切
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a5，b＝12，则tanB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝4，tanC＝，则BC＝（
）
A.8
B.8
C.7
D.7
3.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（
）
A.
B.
C.2
D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则tanB＝___________.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4
cm，tanB＝，求BC、AB的长.
识点二
坡度、坡角
6.如图所示，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30
m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（
）
A.75m
B.50m
C.30m
D.12m
7.下图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1:2，斜坡CD的坡比i＝1:1，若坡面CD的长度为6米，则斜坡AB的长度为（
）
A.4米
B.6米
C.6米
D.24米
8.下图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，垂足为D，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（
）
A.iAC＝2iAB
B.∠ACD＝2∠ABD
C.2iAC＝iAB
D.2∠ACD＝∠ABD
9.如图所示，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5
m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1
m处的D点离地面的高度DE＝0.6
m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3
m，则石坝的坡度为（
）
A.
B.3
C.
D.4
10.下图是一斜坡的横截面，小华沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上升了5米，那么该斜坡的坡度i＝__________.
知识点三
正弦、余弦
11.在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图所示），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（
）
A.
B.
C.m·cos∠1
D.m·sin∠1
12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
13.如图所示，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（
）
A.asinx＋bsinx
B.acosx＋bcosx
C.asinx＋bcosx
D.acosx＋bsinx
14.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cosA＝（
）
A.
B.
C.
D.
15.比较大小:sin81°_______tan47°（填“＜”“＝”或“＞”）.
16.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果BC＝3，AC＝4，那么cos∠BCD＝__________.
17.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝6，sinB＝，则△ABC的面积＝__________.
18.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为__________.
19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值
和正切值.
巩固提高全练
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（
）
A.
B.
C.
D.
21.sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是（
）
A.cos43°＞cos16°＞sin30°
B.cos16°＞sin30°＞cos43°
C.cos16°＞cos43°＞sin30°
D.cos43°＞sin30°＞cos16°
22.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（
）
A.
B.
C.
D.
23.如图所示，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（
）
A.
B.
C.2
D.
24.如图所示，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（
）
A.200tan70°米
B.米
C.200sin70°米
D.米
25.如图所示，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
26.如图所示，矩形ABCD的四个顶点分别在直线3，4，2，1上若直线1∥2∥3∥4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tana的值为（
）
A.
B.
C.
D.
27.如图所示，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG＝____________.
28.如图所示，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点.
（1）AB的长度为__________，CD的长度为___________；
（2）若AB与CD所夹锐角为aα，求tana的值.
29.问题呈现
如图①所示，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.
问题解决
（1）直接写出图①中tan∠CPN的值:__________；
（2）如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.
6.A
7.C
8.A
9.B
10.
11.A
12.B
13.D
14.D
15.＜
16.
17.8
18.
19.解析
由勾股定理，得AB＝＝13，
所以，，.
20.D
21.C
22.C
23.D
24.B
25.D
26.A
27.
28.解析
（1）AB＝，CD＝.
故分别填2；.
（2）取格点E，连接CE，使CE∥AB，取格点F，连接EF，使得EF⊥CD于点G，连接DE，DF，如图所示.
∵∠EDF＝∠EGD＝90°，∠GED＝∠DEF，∴△DEG∽△FED.
∴，即.
∴EG＝，DG＝.∴CG＝CD-DG＝.∴tan∠ECG＝.
∵AB∥CE，∴∠a＝∠ECG.∴tana＝.
29.解析（1）2
（2）如图，取格点D，连接CD，DM.
∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM.
易知△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠CDM＝45°.
∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝.
（3）如图，取格点Q，连接AQ、QN.
∵PC∥NQ，∴∠CPN＝∠ANQ.
易知△AQN是等腰直角三角形，∴∠ANQ＝∠QAN＝45°.
∴∠CPN＝45°.
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