2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第18章 相似形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第18章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如果，那么下列等式中不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在比例尺为1：1000000的地图上量得A，B两地的距离是20cm，那么A、B两地的实际距离是（　　）
A．2000000cm
B．2000m
C．200km
D．2000km
4．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知4a＝5b（ab≠0），下列变形错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB∥CD∥EF，若AE＝3CE，则的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．3
8．下列选项中的两个图形一定相似的是（　　）
A．两个等腰三角形
B．两个矩形
C．两个菱形
D．两个正五边形．
9．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（　　）
A．（6﹣2）
B．（2﹣2）
C．（﹣1）
D．（3﹣）
10．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．若＝，则＝　
　．
12．已知＝＝，且abc≠0，求＝　
　．
13．若2x＝3y，则x：y＝　
　．
14．线段AB为80cm，点C为线段AB的黄金分割点，线段AC的长度为　
　．
15．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为　
　米．
16．一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是　
　．
17．已知（x、y、z均不为零），则＝　
　．
18．已知线段c为线段a，b的比例中项，若a＝1，b＝2，则c＝　
　．
19．如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3，AC＝7，EF＝6，则DE的长为　
　．
20．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　
　．
三．解答题
21．已知，2x＝3y＝5z，求的值．
22．若x、y、z满足＝＝＝k，求k的值．
23．已知＝＝＝k，求k的值．
24．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
25．已知：线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．
26．（1）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．
（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段AC的黄金分割点C1（AC1＞CC1），判断点C1是否为线段AB的另一黄金分割点，并说明理由．
（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段AC1的黄金分割点C2（AC2＞C2C1），并且AB＝1，试用的正整数次幂的形式表示线段BC，CC1，C1C2的长度．
（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：＝　
　．
27．二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简：．
解：将分子、分写同乘以得＝＝．
类比应用：（1）化简：＝　
　．
（2）化简：
++…+．
拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC＝　
　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接AE，则点D到线段AE的距离为　
　．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A．由＝可得，7x＝3y，不合题意；
B．由＝可得，3x＝7y，符合题意；
C．由＝可得，7x＝3y，不合题意；
D．由＝可得，7x＝3y，不合题意；
故选：B．
2．解：A、由合比性质，（b+d≠0）可得，故本选项错误；
B、由等比性质，（b+d≠0）可得，故本选项错误；
C、由得，ad＝bc，
由得，ad＝bc，故本选项错误；
D、由得，ab＝cd，所以，不能由（b+d≠0）得，故本选项正确．
故选：D．
3．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，
得A、B两地的实际距离为20×1000000＝20000000（cm），
20000000cm＝200km．
故A、B两地的实际距离是200km．
故选：C．
4．解：A．由可得，2y＝3x，不合题意；
B．由可得，y＝3x，不合题意；
C．由可得，3y＝2x，符合题意；
D．由可得，5y＝﹣2x，不合题意；
故选：C．
5．解：A．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
B．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
C．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
D．由，可得4a＝5b+1，故本选项错误；
故选：D．
6．解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，
∵CD＝BC＝a，
∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，
∵AP＝AD，
∴AP＝（﹣1）a，
∴＝．
故选：A．
7．解：∵AE＝3CE，
∴AC＝2CE，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝2，
故选：B．
8．解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个正五边形的对应角对应相等、对应边的比相等，故一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
9．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB＝2（﹣1），
则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，
故选：A．
10．解：∵DE∥BC，
∴，
∴当时，，
∴EF∥CD，故C选项符合题意；
而A，B，D选项不能得出EF∥CD，
故选：C．
二．填空题
11．解：设＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，
所以＝＝4．
故答案是：4．
12．解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝7k，
∴＝＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．解：∵2x＝3y，
∴x＝y，
∴x：y＝y：y＝，
故答案为：．
14．解：根据
黄金分割定义，得
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），
且使AC是AB和BC的比例中项．
设AC的长为xcm，则BC＝（80﹣x）cm．
∴AC2＝AB?BC
即x2＝80（80﹣x）
整理，得x2+80x＝6400
解得x1＝40（﹣1），x2＝﹣40﹣40（不符合题意，舍去）
所以线段AC的长为40（﹣1）cm．
若AC＜BC，
则AC＝80﹣（40﹣40）＝40（3﹣）
故答案为40（﹣1）cm或40（3﹣）cm．
15．解：如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，AC＞BC，
则AC＝AB＝5（﹣1）米，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣5（﹣1）＝15﹣5米，
故答案为：15﹣5．
16．解：设AB＝x，AD＝y，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE＝AB＝x，
则DE＝y﹣x，
由题意得，矩形EFCD∽矩形BCDA，
∴＝，即＝，
整理得，x2+xy﹣y2＝0，
则（）2+﹣1＝0，
解得，＝或，
∵负数不符合题意，
∴＝，
故答案为：．
17．解：设x＝5k，y＝4k，z＝3k（k≠0），则
＝＝，
故答案为：．
18．解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝1×2，
解得c＝±，
又∵线段是正数，
∴c＝．
故答案为：．
19．解：∵AB＝3，AC＝7，
∴BC＝4，
∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
即＝，
解得DE＝，
故答案为：．
20．解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
三．解答题
21．解：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝k，y＝k，z＝k，
∴＝＝．
22．解：①当x+y+z＝0时，y+z＝﹣x，
∴k＝＝＝﹣1；
②x+y+z≠0时，
等比性质得k＝＝＝2．
23．解：①a+b+c≠0时，∵＝＝＝k，
∴k＝＝2；
②a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
所以，k＝＝﹣1，
综上所述，k的值为2或﹣1．
24．解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则
＝＝；
（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
25．解：（1）∵＝，
∴＝，
∴＝；
（2）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9．
26．解：（1）设AB＝1，AC＝x，则有BC＝1﹣x，
∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴＝，
∴AC2＝BC?AB，
∴x2＝（1﹣x）×1
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝（舍去负值），
∴AC＝，
∴＝．
（2）点C1是线段AB的另一黄金分割点，理由如下：
∵点C1
是线段AC的黄金分割点（AC1＞CC1），
∴＝＝，
∴AC1＝AC＝（）2，
∴BC1＝AB﹣AC1＝1﹣（）2＝1﹣＝，
∴＝，
∴点C1是线段AB的另一黄金分割点．
（3）∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴＝，
∵AB＝1，
∴AC＝，
BC＝AC＝（）2，
∵点C1
是线段AC的黄金分割点（AC1＞CC1），
∴＝＝，
∴AC1＝AC＝（）2，
CC1＝AC1＝（）3，
∵点C2是线段AC1的黄金分割点（AC2＞C2C1），
∴＝＝，
∴C2A＝（）3，
C1C2＝AC2＝（）4，
∴线段BC，CC1，C1C2的长度为：（）2，（）3，（）4；
（4）由以上证明可得以下规律：
BC＝AC1，CC1＝AC2，C1C2＝AC3，…，
?nCn+1＝ACn+2
（n为正整数）．
CC1＝（）3，
C1C2＝（）4，…，
?nCn+1＝（）n+3
（n为正整数）．
∴
＝BC+CC1+C1C2+C2C3+…+C10C11
＝BC11
＝AB﹣AC11
＝AB﹣C9C10
＝1﹣（）12
＝1﹣[（）2]6
＝1﹣（）6
＝1﹣[（）2]3
＝1﹣（）3
＝1﹣（）2×（）
＝1﹣（）×（）
＝1﹣（161﹣72）
＝72﹣160．
故答案为：72﹣160．
27．解：类比应用：（1）根据题意可得：
化简：＝＝2+；
故答案为：2+；
（2）根据题意可得：
原式＝﹣1+﹣+…+﹣
＝3﹣1
＝2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
则黄金矩形ABCD的长BC为：
1：＝＝；
故答案为：；
（2）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：
AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，
根据黄金矩形的性质可知：
AD＝BC＝1：＝＝；
∴FD＝EC＝AD﹣AF＝﹣1＝，
∴＝÷1＝；
所以矩形DCEF是黄金矩形；
（3）如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，
∵AB＝EF＝1，AD＝，
∴AE＝＝，
在△AED中，
S△AED＝×AD×EF＝AE×DG，
即AD×EF＝AE×DG，
则×1＝×DG，
解得DG＝．
所以点D到线段AE的距离为．
故答案为：．