2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第24章 相似三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第24章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题
1．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（　　）
A．中心
B．重心
C．外心
D．内心
2．下列图形中，是相似形的是（　　）
A．所有平行四边形
B．所有矩形
C．所有菱形
D．所有正方形
3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
4．已知＝，则代数式的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．若mn＝ab，则下列比例式中不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．若，则的值为（　　）
A．
B．﹣1
C．1
D．
7．如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC＞CB，AB＝1，那么AC的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）
A．1
B．
C．
D．2
9．下列图形中，一定相似的是（　　）
A．两个正方形
B．两个菱形
C．两个直角三角形
D．两个等腰三角形
10．下列两个图形，一定相似的是（　　）
A．两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．两个等边三角形
D．两个矩形
二．填空题
11．如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD＝　
　．
12．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　
　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
13．请指出图中从图1到图2的变换是　
　变换．
14．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为　
　cm．
15．已知，则＝　
　．
16．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为　
　cm．
17．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为　
　．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S△AGC＝　
　．
19．若＝，则＝　
　．
20．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为　
　米．
三．解答题
21．已知，且2x+3y﹣z＝18，求4x+y﹣3z的值．
22．若＝，求的值．
23．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
24．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．
25．如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．
（1）设＝，＝，用向量、表示；
（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．
26．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、等边三角形才有中心，故此选项不合题意；
B、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故此选项符合题意；
C、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故此选项不合题意；
D、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故此选项不合题意．
故选：B．
2．解：A、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选：D．
3．解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
4．解：由＝得到：a＝b，则
＝＝．
故选：B．
5．解：A、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；
B、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；
C、由＝得，mb＝an，故本选项正确；
D、由＝得，mn＝ab，故本选项错误．
故选：C．
6．解：由，
得2x＝x﹣y，
∴x＝﹣y，
∴＝﹣1，
故选：B．
7．解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＞CB，
∴AC＝AB＝，
故选：C．
8．解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD＝CD，
∵∠C＝90°，
∴CD＝AB＝3，
∵AC＝BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD＝1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
9．解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选：A．
10．解：∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵D、E分别是BC，AC的中点，
∴点G为△ABC的重心，
∴AG＝2DG＝2，
∴AD＝AG+DG＝2+1＝3．
故答案为3．
12．解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
13．解：∵从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴从图1到图2的变换是相似变换．
故答案为：相似，
14．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
15．解：由题意，设x＝5k，y＝3k，
∴＝＝．
故答案为：．
16．解：根据已知条件得下半身长是165×0.6＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，
解得：y≈7.8cm．
故答案为7.8．
17．解：∵点G是△ABC重心，BC＝6，
∴CD＝BC＝3，＝2，
∵GE∥BC，
∴△AEG∽△ACD，
∴＝＝，
∴GE＝2．
故答案为：2．
18．解：延长AG交BC于E．
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，
∴S△ABC＝?AB?AC＝12，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝EC，
∴S△AEC＝×12＝6，
∴S△AGC＝×S△AEC＝4，
故答案为4．
19．解：∵＝，
∴y＝x，
∴＝＝．
故答案为：．
20．解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：
1：2000＝4.5：x，
解得x＝9000．
9000cm＝90m．
故答案为：90．
三．解答题
21．解：设＝k，
可得：x＝2k，y＝3k，z＝4k，
把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入2x+3y﹣z＝18中，
可得：4k+9k﹣4k＝18，
解得：k＝2，
所以x＝4，y＝6，z＝8，
把x＝4，y＝6，z＝8代入4x+y﹣3z＝16+6﹣24＝﹣2．
22．解：x＝2k，y＝3k，
＝＝﹣5；
故答案为：﹣5．
23．解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
24．证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴，
∴，
∴AD＝3DG，
即AD＝3GD．
25．解：（1）∵AD是△ABC的中线，＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝+，
∵G是重心，
∴＝×（+）═+；
（2）延长BG交AC于H，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴GA＝GC，
∵G是重心，AC＝2，
∴AH＝AC＝1，
∴BH⊥AC，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝3，
∴BH＝＝2，
∴BG＝BH＝．
26．解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．