1.2.6分段函数_课件-湘教版必修1（24张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.2.6分段函数_课件-湘教版必修1（24张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-16 22:35:56 | ||
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【课标要求】
分段函数
了解分段函数的概念；
会画分段函数的图象；
能解决相关问题．
1．
2．
3．
如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的_______给出，这种函数叫作_________ ．
分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是空集．
作分段函数图象时，应_____________________ ．
自学导引
1．
2．
3．
4．
解析式
分段函数
对应关系
并集
分别作出每一段的图象
如何判断分段函数的奇偶性？
提示 先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系，首先要注意x与－x的范围，然后将它代入相应的函数表达式中．
自主探究
2．
答案 B
预习测评
解析 f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.
答案 A
答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 由题意知，当x>0时，x＋1>2，解得x>1；
当x＝0时，无解；
当x<0时，－(x＋1)>2，解得x<－3，
故不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案 {x|x<－3或x>1}
分段函数
(1)有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值区间，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数，其解析式是由几个不同的式子构成的，它们合为一个整体表示一个函数．
(2)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在内，则用虚点“。”表示．
名师点睛
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集；区间端点应不重不漏．求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取并集；
(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．
(5)求分段函数最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值，然后取各段中的最大(小)值．
题型一 作分段函数的图象
【例1】
典例剖析
(2)函数f(x)的图象如图所示：
点评 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
【变式1】
图(1)
如图(2)所示
图(2)
题型二 分段函数的求值
【例2】
点评 对于f(a)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a所在范围有关．因此要对a进行讨论，由此我们可以得出：(1)分段函数的函数值要分段去求.
(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要产生的．
【变式2】
解 ∵－3<0，∴f(－3)＝0，∴f(f(－3))＝f(0)＝π，
又π>0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1，
即f(f(f(－3)))＝π＋1.
如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD 位于直线MN左边部分的面积y写成关于x的函数，并指出其定义域和值域．
题型三 分段函数的实际应用
【例3】
点评 由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可．
注意：求分段函数的解析式时，最后要把各段综合在一起写成一个函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B
(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)的图象．
【变式3】
[错解] 由x2－1＝3，得x＝±2；
由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1.
错因分析 本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，上述解法没有注意x的取值范围，造成增解．
[正解] 当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2.
误区警示 因忽视分段函数自变量的范围而出错
【例4】
纠错心得 对于分段函数分为几部分应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求某个自变量的函数值，容易不看自变量的范围直接代入解析式而求错解．
关于分段函数应注意的几点：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用对应法则造成错误结果．
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，要特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
课堂总结
分段函数
了解分段函数的概念；
会画分段函数的图象；
能解决相关问题．
1．
2．
3．
如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的_______给出，这种函数叫作_________ ．
分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是空集．
作分段函数图象时，应_____________________ ．
自学导引
1．
2．
3．
4．
解析式
分段函数
对应关系
并集
分别作出每一段的图象
如何判断分段函数的奇偶性？
提示 先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系，首先要注意x与－x的范围，然后将它代入相应的函数表达式中．
自主探究
2．
答案 B
预习测评
解析 f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.
答案 A
答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 由题意知，当x>0时，x＋1>2，解得x>1；
当x＝0时，无解；
当x<0时，－(x＋1)>2，解得x<－3，
故不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案 {x|x<－3或x>1}
分段函数
(1)有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值区间，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数，其解析式是由几个不同的式子构成的，它们合为一个整体表示一个函数．
(2)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在内，则用虚点“。”表示．
名师点睛
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集；区间端点应不重不漏．求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取并集；
(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．
(5)求分段函数最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值，然后取各段中的最大(小)值．
题型一 作分段函数的图象
【例1】
典例剖析
(2)函数f(x)的图象如图所示：
点评 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
【变式1】
图(1)
如图(2)所示
图(2)
题型二 分段函数的求值
【例2】
点评 对于f(a)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a所在范围有关．因此要对a进行讨论，由此我们可以得出：(1)分段函数的函数值要分段去求.
(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要产生的．
【变式2】
解 ∵－3<0，∴f(－3)＝0，∴f(f(－3))＝f(0)＝π，
又π>0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1，
即f(f(f(－3)))＝π＋1.
如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD 位于直线MN左边部分的面积y写成关于x的函数，并指出其定义域和值域．
题型三 分段函数的实际应用
【例3】
点评 由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可．
注意：求分段函数的解析式时，最后要把各段综合在一起写成一个函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B
(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)的图象．
【变式3】
[错解] 由x2－1＝3，得x＝±2；
由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1.
错因分析 本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，上述解法没有注意x的取值范围，造成增解．
[正解] 当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2.
误区警示 因忽视分段函数自变量的范围而出错
【例4】
纠错心得 对于分段函数分为几部分应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求某个自变量的函数值，容易不看自变量的范围直接代入解析式而求错解．
关于分段函数应注意的几点：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用对应法则造成错误结果．
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，要特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
课堂总结