1.2.7二次函数的图像和性质——增减性和最值_课件-湘教版必修1（24张PPT）

【课标要求】
二次函数的图象和性质
——增减性和最值
了解二次函数的定义．
掌握二次函数的图象及增减性和最值．
1．
2．
自学导引
上（下）
如何求二次函数在给定区间上的最值？
提示　常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，其最值在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．
自主探究
若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则 (　　)．
A．m为任意实数　　　　 B．m≠1
C．m≠－1 D．m≠1且m≠－1
解析　由m－1≠0，得m≠1，故选B.
答案　B
预习测评
1．
答案　D
函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是____________．
函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－1]时是递减函数，则m的取值范围是____________．
答案　m≥－4
3．
4．
二次函数的系数对抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)形状的影响
(1)a决定开口方向及开口大小．当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
当|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同；当|a|逐渐变大时，抛物线开口程度逐渐变小；当|a|→＋∞，抛物线渐变为y轴；当|a|逐渐变小时，抛物线开口程度逐渐变大；当|a|→0时，抛物线逐渐变为x轴．
名师点睛
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置．
当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)．
①c＝0时，抛物线经过原点；
②c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；
③c<0时，抛物线与y轴交于负半轴．
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．
题型一　求二次函数的解析式
【例1】
典例剖析
由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.
代入③整理得a2＝－4a，解得a＝－4，或a＝0(舍去)．
∴b＝4，c＝7.
因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二　利用二次函数顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
点评　用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)．
f(x)是二次函数且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)解析式．
解　待定系数法，设f(x)＝ax2＋bx＋c.
∵f(0)＝c＝0
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b)
f(x)＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1
【变式1】
f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围．
题型二　二次函数的增减性
【例2】
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
x∈[－5，5]，1∈[－5，5]．∴当x＝1时，f(x)min＝1；
当x＝－5时，f(x)max＝37.
(2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
其图象对称轴为x＝－a.
∵f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.
【变式2】
求函数y＝x2－2ax－1在[0，2]上的值域．
解　①当a<0时，ymin＝f(0)＝－1，
ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，
所以函数的值域为[－1，3－4a]．
②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(2)＝3－4a，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．
③当1ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．
④当a>2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a，－1]．
题型三　求二次函数的值域或最值
【例3】
点评 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得．
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0，4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解　(1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
其图象对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x∈[0，4]时，∴f(x)max＝f(4)＝42－2×4＋2＝10，
f(x)min＝f(1)＝1.
【变式3】
设函数f(x)＝ax2－2x＋2.对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
误区警示　讨论不严密造成错误
【例4】
错因分析　①当a＞0时，未对对称轴的位置加以分类讨论，从而导致解有误．②丢掉了对a＝0的情况的讨论．
纠错心得　二次函数问题当“轴定，区间定”时，直接利用二次函数的单调性解题即可，若“轴变、区间定”或“轴定、区间变”时，要采用分类讨论的思想，分析轴与区间的关系．
二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．
具体做法是：首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m.
其次对区间进行讨论，可分成三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定．
(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
课堂总结