1.2.2表示函数的方法_课件-湘教版必修1（29张PPT）

【课标要求】
表示函数的方法
掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点．
掌握函数图象的画法及解析式的求法．
1．
2．
把一个函数的_________和_______交待清楚的办法，就是表示函数的方法．在初中数学课程中学过，可以用数学表达式、函数图象或函数表来表示函数．这是表示函数的三种主要方法，分别叫作_______ 、 _______和_______ ．
把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作_______(还常常叫作解析表达式或函数关系式)，解析法就是用_______来表示函数的方法．
自学导引
1．
2．
对应法则
定义域
解析法
图象法
列表法
解析式
解析式
用列表方法表示函数关系，优点是_________，不懂数学运算的人也能查表做事；缺点一是_________ ，二是从表上也很难看出函数的_________ ．
作图过程通常有______、 ______ 、 ______三个步骤：
______——先找出一些(有代表性的)自变量值x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
______——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
______——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
3．
4．
具体易用
不够全面
数学性质
列表
描点
连线
列表
描点
连线
任何一个函数都可以用解析法表示吗？
提示　不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系等无法用解析式表示．
自主探究
已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为(　　)．
预习测评
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
A.－1 B．－2 C．－3 D．－4
答案　D
1．
下列各图中，不能是函数f(x)图象的是(　　)。
答案　C
2．
已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝－2，f(－1)＝0，则a＝________，b＝________。
解析　由f(1)＝－2得：a＋b＝－2，
由f(－1)＝0得：－a＋b＝0，∴a＝b＝－1
答案　－1　－1
4．
三种表示方法的比较
名师点睛
优　点
缺　点
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
只能表示自变量取较少的有限个值的对应关系
图象法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
1．
三种表示方法的运用
(1)首先，要熟练地掌握解析法、列表法、图象法的各自含义，以及它们的优缺点，只有把握了这些，才能恰当地运用这些表示方法表示函数。
(2)其次，解析法、列表法、图象法同为研究函数的重要方法，它们不是孤立的，而是和谐统一的．为研究函数的需要，常常根据函数的解析式列表或作图、或者根据函数的图象写出函数的解析式。因此在学习三种方法的同时，还要掌握三种方法之间的转化。
2.
(3)最后，要明白函数的这三种表示方法并不是万能之法，也就是它不能表示所有的函数。例如某地在某一天的气温W显然是每一个时刻t的函数，它并不一定能用某一个函数解析式表示出来，也不能用列表法表示(列表法只能表示一系列孤立点的对应关系)。
(1)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100 kg)如表所示：
题型一　函数的表示方法
【例1】
典例剖析
月份t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
零售
量y
81
84
45
46
9
5
6
15
94
161
144
123
则零售量是否为月份的函数？为什么？
(2)由下列图形是否能确定y是x的函数？
解　(1)是函数．
∵对于集合{1，2，…，12}中的任一个值，
由表可知y都有唯一确定的值与它对应，
∴由它可确定为y是t的函数。
(2)①不能确定为y是x的函数．∵当x＝0时，由图①可确定y有两个值±1与它对应；
②能确定y是x的函数。∵当x在{x|x<－1或x≥1}中任取一个值时，由图②可确定唯一的y的值与它对应；
③能确定y是x的函数。∴当x在{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中任取一个值时，由图③可确定y有唯一的值与它对应；
④能确定y是x的函数，∵当对于R上任意的x，由图④都能确定唯一的y值与之对应。
点评　(1)函数关系在客观实际中广泛存在着，而不仅仅是能给出解析式的就是函数．如本例(1)中就无法写出该函数的解析式。
(2)由本例(2)可知，函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点和线段等。
(3)要判断一个直角坐标系下的图形能否确定为y是x的函数的一个方法是：任作一条垂直于x轴的直线，若该直线与其图形至多只有一个交点，则由该图形能确定y是x的函数；否则就不行。
设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为图中之一，则a的值为 (　　)．
【变式1】
答案　B
解　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，从而y∈Z)，这些点称为整点(如图1所示)。
(2)∵0≤x<3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线(如图2所示)。
题型二　画函数图象
【例2】
点评　(1)作函数图象的步骤是：列表、描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列表，直接描点、连线即可；
(2)函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线、几条射线或曲线；
(3)有些函数应先求定义域，并化简函数式后再作图。
函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合法解题的有力工具，要切实掌握好。
【变式2】
题型三　求函数解析式
【例3】
点评　求函数解析式的常用方法是待定系数法和换元法．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．
已知二次函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，且f(0)＝1，求f(x)的解析式。
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
f(0)＝c＝1，
∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋1－ax2－bx－1＝4ax＋4a＋2b＝4x＋6，
【变式3】
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
[错解]　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4.
错因分析　本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．
[正解]　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
∴f(x)＝x2－4(x≥2)．
误区警示　　因忽略函数的定义域而出错
【例4】
纠错心得　采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.
作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．
求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，采用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消去法)．
课堂总结
1．
2．