1.2.1对应、映射和函数_课件-湘教版必修1（27张PPT）

对应、映射和函数
映射的定义：设A，B是两个_____的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_____元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的_____ ，记作_________．
在映射f：A→B中，集合A叫作映射的________ ，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的___ (image)，记作y＝f(x)G，x叫作y的_____(inverse image)．
自学导引
1．
非空
唯一
映射
f：A→B
定义域
象
原象
如果在某个变化过程中有两个变量x，y，对于每一个在一定范围内变化着的__________________的值，按照一定的对应法则，都有一个_________的y值与之对应，那么，就说y是自变量x的_____，而自变量x的上述变化范围，就叫作该函数的_______ (domain)，和自变量x对应的y的值，叫作_______，函数值的变化范围叫作该函数的_____ (co?domain)．
函数的定义：设A，B是两个非空的_____，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有_____的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的_____ (function)，记作f：A→B，或者_______ (x∈A，y∈B)．
2．
3．
自变量(argument)x
唯一确定
函数
定义域
函数值
值域
数集
唯一
函数
y＝f(x)
这里，A叫作函数的_______，与x∈A对应的数y叫x的____,记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的
_____．
观察实际例子并对照定义看出，一个函数f(x)有三个要素：
首先是________ ，也就是如何从x确定f(x)的法则．不知道________ ，就不能从根本上了解这个函数．
其次是______，就是自变量x的取值范围．对应法则形式上相同的两个函数，若______不同，就算不同的函数．
知道了对应法则和定义域，_____也就确定了，对_____的了解表明对函数有了更深入的认识，所以_____也算是函数的要素之一．
4．
定义域
象
值域
对应法则
对应法则
定义域
定义域
值域
值域
值域
函数与映射的主要联系和区别是什么？
提示　函数是一个特殊的映射，函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
f(x)与f(a)的含义有什么不同？
提示　f(x)是自变量x的函数，在一般情况下是一个变量；f(a)表示当x＝a时所得的函数值，是一个常量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如：函数f(x)＝3x＋2，f(2)＝3×2＋2＝8.
自主探究
1．
2．
下列从集合A到集合B的对应f是映射的是(　　)。
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案　A
预习测评
1．
解析　答案A中的两函数定义域不同，答案B中的两函数值域不同，答案D中的两函数对应法则不同，答案C正确．
答案　C
下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f，其中为映射的对应是________。
答案　(2)(5)
3．
给出下列四个对应关系，能构成函数的有________(填序号)。
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝2x－3；
②A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{y|y∈N，y≤5}，
f：x→y＝|x－1|；
③A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，f：x→y＝x－3；
④A＝N＋，B＝{y∈N＋|y＝2x，x∈N＋}，f：x→y＝2x－1.
答案　①②③
4．
对映射概念的理解
(1)“任意”：就是说映射作用下集合A中的每一个元素在集合B中都有它的象，这是映射的完备性。
(2)“集合A到集合B”：映射定义中的两个集合A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，这是映射的方向性。
(3)“有一个且仅有一个”：就是说映射作用下集合A中的任何一个元素在集合B中的象是存在且唯一的，这是映射的存在性与唯一性。
名师点睛
1．
(4)“在B中”：就是说集合A中元素的象必在集合B中，即A中元素的象集是B的子集，这是映射的封闭性。
(5)映射的三要素是集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射不是只有集合A或者集合B，而是集合A、B以及对应法则f的整体，是一个系统，记作f：A→B.有时，映射f：A→B，集合A中的元素a对应集合B中的元素b，也可表示为f：a→b＝f(a)或者直接写成b＝f(a)。只要其中一个要素不同就是不同的映射。
(6)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合。但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的。
函数符号y＝f(x)的理解　
(1)对应法则f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。变量也不是用唯一的字母来表示，f(x)＝x＋1与f(t)＝t＋1是同一个函数。
(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述等。y＝f(x)仅仅是函数符号，不能认为“y等于f与x的乘积”。
2．
(3)虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于对应法则f所施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此函数的解析式是不同的。
(4)f(a)(a是常量)与f(x)的关系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般表示的是变量。
题型一　映射定义的理解
【例1】
典例剖析
解　(1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射。
(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射。
(3)在f的作用下，A中的0，1，2，9分别对应到B中的1，0，1，64，
∴是映射。
点评　判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”。
一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射。
说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可。
【变式1】
解　(1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数。
(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素。
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数。
(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集。
已知A＝{a，b，c}，B＝{－2，0，2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数。
解　(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2，0＋2＝2，
(－2)＋0＝－2，0＋(－2)＝－2
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0，2＋(－2)＝0
因此满足条件的映射共有7个。
点评　求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论。
题型二　映射综合问题
【例2】
【变式2】
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)集合A＝R，B＝{－1，1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？
题型三　对函数定义的理解
【例3】
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数。
(3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应。
点评　1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)．
2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个值，是否都有唯一确定的值y与之对应。
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数。
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数。
【变式3】
[错解]　函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此时5k2<0，无解，∴k值不存在．
错因分析　本题忽视了k＝0的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数。
误区警示　因求函数定义域忽视对二次项系数的讨论而出错
【例4】
纠错心得　求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数．本题中k2x2＋3kx＋1≠0应注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心。
映射的定义
(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系。
(2)映射有三种对应关系：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”。根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以。
(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合。
课堂总结
1．
函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到唯一确定的值y”。在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。
正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义。
2．
3．