2.1.2指数函数的图像和性质 _课件-湘教版必修1（30张PPT）

指数函数的
图象和性质
【课标要求】
理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数．
掌握指数函数的图象和性质．
1．
2．
函数y＝ax叫作_____函数(exponential function)，其中a是不等于1的_______ ，函数的定义域是___．
从图象可以“读”出的指数函数y＝ax(a>1)的性质有：
(1)图象总在__轴上方，且图象在y轴上的射影是_________
(不包括原点)．由此，函数的值域是___；
(2)图象恒过点______，用式子表示就是_____；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递___函数，由此有：
当x>0时，有ax>a0＝1；当x<0时，有0自学导引
1．
2．
指数
正实数
x
y轴正半轴
R＋
(0，1)
a0＝1
增
R
(1)图象总在____上方，且图象在y轴上的射影是__________
(不包括原点)．由此，函数的值域是R＋；
(2)图象恒过点______，用式子表示就是______；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递___函数，由此有：当x>0时，有0a0＝1.
y轴
x轴
y轴正半轴
(0，1)
a0＝1
减
函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于____对称．
指数函数，y＝f(x)有如下性质：f(m＋n)＝ ________ ，这是指数函数的最基本的性质．
4．
5．
y轴
f(m)·f(n)
在指数函数y＝ax中，为什么规定a>0，且a≠1?
自主探究
如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
1．
对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当a的取值变化时，函数的图象变化有什么规律？
提示　(1)当a>1时，底数a越大，图象在第一象限越靠近y轴，在第二象限越靠近x轴；(2)当0在同一坐标系中，无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
2．
下列一定是指数函数的是 (　　)．
A．形如y＝ax的函数
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x
D．y＝(a－2)ax
预习测评
答案　C
1．
当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 (　　)．
答案　D
2．
答案　>
理解指数函数定义，需注意的几个问题
(1)因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
(2)规定底数a大于零且不等于1的理由：
名师点睛
题型一　指数函数定义的理解
【例1】
典例剖析
点评　(1)切入点：利用指数函数的定义来判断．
(2)关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x.
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
【变式1】
解　(1)由ax－1≥0，得ax≥1，
当a>1时，x≥0；当0∴当a>1时，定义域为[0，＋∞)；
当0题型二　定义域值域问题
【例2】
∴函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞)．
(3)函数的定义域为R.
y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
∵2x>0，∴y>1，即函数的值域为(1，＋∞)．
(4)∵ax－1≠0，∴ax≠1.
∴x≠0，即函数的定义域为{x∈R|x≠0}．
【变式2】
比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.72.5，1.73；　　　(2)0.8－0.1，1.250.2；
(3)1.70.3，0.93.1; (4)4.54.1，3.73.6.
解　(1)由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，
＋∞)上是递增函数，∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)1.250.2＝0.8－0.2，∵0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为递减函数，
∴0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质得，1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1.
∴1.70.3>0.93.1.
(4)利用指数函数的增减性知4.54.1>4.53.6，
题型三　单调性的应用
【例3】
点评　两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题．对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个函数值，所以(3)题无法用(1)、(2)两题的方法来进行比较．可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出1.70.3与0.93.1的大小．(4)题直接比较有困难，可找中间变量4.53.6.
【变式3】
右图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的关系是(　　)．
A．aB．bC．1D．a题型四　指数函数的图象及应用
【例4】
解析　可先分两类：③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1.当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．故选B.
答案　B
点评　本题也可令x＝1，则四个函数所得函数值分别为a，b，c，d，从各点处的位置可知答案．
函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 (　　)．
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0【变式4】
解析　由图得函数是递减函数，∴0∴－b>0，即b<0.
从而D正确．
答案　D
误区警示　因忽略指数函数的值域而出错
【例5】
错因分析　在解题过程中忽视了指数函数的值域{y|y>0}这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y≠1是不全面的．
纠错心得　指数函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域只能是(0，＋∞)的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论．
指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．
利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小
(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的增减性比较大小．
(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．
(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．
课堂总结
1．
2．
掌握指数函数的图象特征，有利于进一步理解和应用指数函数的性质解题，比较两个或多个不同底的指数函数图象，可以总结出指数函数图象随常数a的变化规律，进而可以比较两个同指数不同底数的幂的大小．
指数函数的增减性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．
3．
4．